Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

Schritt 1

Um $\frac{x}{x^{2} - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

Schritt 2

Um $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x^{2} - 1}$ mit $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ mit $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ um.

$\frac{x (x - x^{2})}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x (x^{2} - 1)$ heraus.

$\frac{x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))$ heraus.

$\frac{x (x - x^{2} + 5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.2

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$\frac{x (u + 4 u^{2} - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.3.1

Stelle die Terme um.

$\frac{x (4 u^{2} + u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.3.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 5.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x (4 u^{2} + 1 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.3.2.2

Schreibe $1$ um als $- 4$ plus $5$

$\frac{x (4 u^{2} + (- 4 + 5) u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (4 u^{2} - 4 u + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x ((4 u^{2} - 4 u) + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (4 u (u - 1) + 5 (u - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u - 1$ .

$\frac{x ((u - 1) (4 u + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.4.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$\frac{x ((x - 1) (4 x + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $x$ aus $x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x^{1} - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 + x (- x)) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.5.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- x)$ heraus.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot (1 - x) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.5.5

Mutltipliziere $x$ mit $1 - x$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1^{2})}$

Schritt 5.7

Faktorisiere.

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Schritt 5.7.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) ((x + 1) (x - 1))}$

Schritt 5.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.8.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - x) (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.8.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - (x)) (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 1) - (x)$ heraus.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1 + x)) (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.8.4

Entferne die Klammern.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (- 1 + x) (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.8.6

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} (x - 1)) (x + 1)}$

Schritt 5.8.7

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}) (x + 1)}$

Schritt 5.8.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)}$

Schritt 5.8.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Schritt 5.9

Vereinfache den Ausdruck $\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Schritt 5.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)$ heraus.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x + 5}{- 1 (x - 1) (x + 1)}$