Algebravorstufe Beispiele

x^{\frac{7}{3}} - x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{7}{3}} - x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Faktorisiere

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ aus

x^{\frac{7}{3}} - x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{7}{3}} - x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ aus

x^{\frac{7}{3}}

$x^{\frac{7}{3}}$ heraus.

x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{6}{3}} - x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{6}{3}} - x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ aus

- x^{\frac{4}{3}}

$- x^{\frac{4}{3}}$ heraus.

x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{6}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{3}{3}}) - 2 x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{6}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{3}{3}}) - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.3

Faktorisiere

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ aus

- 2 x^{\frac{1}{3}}

$- 2 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{6}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{3}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2

$x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{6}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{3}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2$

Schritt 1.4

Faktorisiere

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ aus

x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{6}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{3}{3}})

$x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{6}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{3}{3}})$ heraus.

x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{6}{3}} - x^{\frac{3}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2

$x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{6}{3}} - x^{\frac{3}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2$

Schritt 1.5

Faktorisiere

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ aus

x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{6}{3}} - x^{\frac{3}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2

$x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{6}{3}} - x^{\frac{3}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2$ heraus.

x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{6}{3}} - x^{\frac{3}{3}} - 2)

$x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{6}{3}} - x^{\frac{3}{3}} - 2)$

x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{6}{3}} - x^{\frac{3}{3}} - 2)

$x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{6}{3}} - x^{\frac{3}{3}} - 2)$

Schritt 2

Faktorisiere

x^{\frac{6}{3}} - x^{\frac{3}{3}} - 2

$x^{\frac{6}{3}} - x^{\frac{3}{3}} - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

- 2

$- 2$ und deren Summe

- 1

$- 1$ ist.

- 2, 1

$- 2, 1$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

x^{\frac{1}{3}} ((x^{\frac{3}{3}} - 2) (x^{\frac{3}{3}} + 1))

$x^{\frac{1}{3}} ((x^{\frac{3}{3}} - 2) (x^{\frac{3}{3}} + 1))$

x^{\frac{1}{3}} ((x^{\frac{3}{3}} - 2) (x^{\frac{3}{3}} + 1))

$x^{\frac{1}{3}} ((x^{\frac{3}{3}} - 2) (x^{\frac{3}{3}} + 1))$

Schritt 3

Dividiere

3

$3$ durch

3

$3$ .

x^{\frac{1}{3}} ((x^{1} - 2) (x^{\frac{3}{3}} + 1))

$x^{\frac{1}{3}} ((x^{1} - 2) (x^{\frac{3}{3}} + 1))$

Schritt 4

Vereinfache.

x^{\frac{1}{3}} ((x - 2) (x^{\frac{3}{3}} + 1))

$x^{\frac{1}{3}} ((x - 2) (x^{\frac{3}{3}} + 1))$

Schritt 5

Schreibe

x^{\frac{3}{3}}

$x^{\frac{3}{3}}$ als

{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ um.

x^{\frac{1}{3}} ((x - 2) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 1))

$x^{\frac{1}{3}} ((x - 2) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 1))$

Schritt 6

Schreibe

1

$1$ als

1^{3}

$1^{3}$ um.

x^{\frac{1}{3}} ((x - 2) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 1^{3}))

$x^{\frac{1}{3}} ((x - 2) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 1^{3}))$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme,

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei

$a = x^{\frac{1}{3}}$ und

$b = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} ((x - 2) ((x^{\frac{1}{3}} + 1) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^{2})))$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Faktorisiere.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 8.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} ((x - 2) ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3} \cdot 2} - x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^{2})))$

Schritt 8.1.1.1.2

Kombiniere

$\frac{1}{3}$ und

$2$ .

$x^{\frac{1}{3}} ((x - 2) ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^{2})))$

Schritt 8.1.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$x^{\frac{1}{3}} ((x - 2) ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1^{2})))$

Schritt 8.1.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{\frac{1}{3}} ((x - 2) ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1)))$

Schritt 8.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{\frac{1}{3}} ((x - 2) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1))$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{\frac{1}{3}} (x - 2) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1)$