Algebravorstufe Beispiele

$x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 12$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 12$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4} - 2 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{3} x - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 8 x + 12$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 - 7 x^{2} + 8 x + 12$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$ heraus.

$x^{3} (x - 2) - 7 x^{2} + 8 x + 12$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 7 \cdot 12 = - 84$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$x^{3} (x - 2) - 7 x^{2} + 8 (x) + 12$

Schritt 3.1.2

Schreibe $8$ um als $- 6$ plus $14$

$x^{3} (x - 2) - 7 x^{2} + (- 6 + 14) x + 12$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (x - 2) - 7 x^{2} - 6 x + 14 x + 12$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{3} (x - 2) + (- 7 x^{2} - 6 x) + 14 x + 12$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{3} (x - 2) + x (- 7 x - 6) - 2 (- 7 x - 6)$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 7 x - 6$ .

$x^{3} (x - 2) + (- 7 x - 6) (x - 2)$

Schritt 4

Faktorisiere $x - 2$ aus $x^{3} (x - 2) + (- 7 x - 6) (x - 2)$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $x^{3} (x - 2)$ heraus.

$(x - 2) x^{3} + (- 7 x - 6) (x - 2)$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $(- 7 x - 6) (x - 2)$ heraus.

$(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 7 x - 6)$

Schritt 4.3

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 7 x - 6)$ heraus.

$(x - 2) (x^{3} - 7 x - 6)$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Schreibe $x^{3} - 7 x - 6$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x^{3} - 7 x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 5.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 5.1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 7 \cdot - 1 - 6$

Schritt 5.1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 7 \cdot - 1 - 6$

Schritt 5.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$- 1 + 7 - 6$

Schritt 5.1.1.3.4

Addiere $- 1$ und $7$ .

$6 - 6$

Schritt 5.1.1.3.5

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 5.1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 7 x - 6}{x + 1}$

Schritt 5.1.1.5

Dividiere $x^{3} - 7 x - 6$ durch $x + 1$ .

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Schritt 5.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6$

Schritt 5.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$

Schritt 5.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 5.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 5.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 5.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 5.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 5.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 5.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 5.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$

Schritt 5.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 5.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 5.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 5.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x - 6$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Schritt 5.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Schritt 5.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - x - 6$

Schritt 5.1.1.6

Schreibe $x^{3} - 7 x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 2) ((x + 1) (x^{2} - x - 6))$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x^{2} - x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 5.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) ((x + 1) ((x - 3) (x + 2)))$

Schritt 5.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 2) ((x + 1) (x - 3) (x + 2))$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 2) (x + 1) (x - 3) (x + 2)$