Algebravorstufe Beispiele

$x^{6} - 64$

Schritt 1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

${(x^{2})}^{3} - 64$

Schritt 2

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

${(x^{2})}^{3} - 4^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 4$ .

$(x^{2} - 4) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x^{2} - 2^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{4} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Schritt 4.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 4^{2})$

Schritt 4.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 16)$

Schritt 4.6

Faktorisiere.

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Schritt 4.6.1

Schreibe $x^{4} + 4 x^{2} + 16$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.6.1.1

Forme den mittleren Term um.

$(x + 2) (x - 2) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 4 - 4 x^{2} + 16)$

Schritt 4.6.1.2

Ordne Terme um.

$(x + 2) (x - 2) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 - 4 x^{2})$

Schritt 4.6.1.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$(x + 2) (x - 2) ({(x^{2} + 4)}^{2} - 4 x^{2})$

Schritt 4.6.1.4

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$(x + 2) (x - 2) ({(x^{2} + 4)}^{2} - {(2 x)}^{2})$

Schritt 4.6.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2} + 4$ und $b = 2 x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 4 + 2 x) (x^{2} + 4 - (2 x)))$

Schritt 4.6.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1.6.1

Stelle die Terme um.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} + 4 - (2 x)))$

Schritt 4.6.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} + 4 - 2 x))$

Schritt 4.6.1.6.3

Stelle die Terme um.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4))$

Schritt 4.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4)$