Algebravorstufe Beispiele

Faktor x^4+2x^3-11x^2-12x+36
Schritt 1
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 1.2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 1.3
Setze ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Setze in das Polynom ein.
Schritt 1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 1.3.3
Potenziere mit .
Schritt 1.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.5
Addiere und .
Schritt 1.3.6
Potenziere mit .
Schritt 1.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.8
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.10
Subtrahiere von .
Schritt 1.3.11
Addiere und .
Schritt 1.4
Da eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.
Schritt 1.5
Dividiere durch .
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Schritt 1.5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
-+--+
Schritt 1.5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-+--+
Schritt 1.5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-+--+
+-
Schritt 1.5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-+--+
-+
Schritt 1.5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-+--+
-+
+
Schritt 1.5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
-+--+
-+
+-
Schritt 1.5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
+
-+--+
-+
+-
Schritt 1.5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
+
-+--+
-+
+-
+-
Schritt 1.5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
+
-+--+
-+
+-
-+
Schritt 1.5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
+
-+--+
-+
+-
-+
-
Schritt 1.5.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
+
-+--+
-+
+-
-+
--
Schritt 1.5.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
+-
-+--+
-+
+-
-+
--
Schritt 1.5.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
+-
-+--+
-+
+-
-+
--
-+
Schritt 1.5.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
+-
-+--+
-+
+-
-+
--
+-
Schritt 1.5.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
+-
-+--+
-+
+-
-+
--
+-
-
Schritt 1.5.16
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
+-
-+--+
-+
+-
-+
--
+-
-+
Schritt 1.5.17
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
+--
-+--+
-+
+-
-+
--
+-
-+
Schritt 1.5.18
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
+--
-+--+
-+
+-
-+
--
+-
-+
-+
Schritt 1.5.19
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
+--
-+--+
-+
+-
-+
--
+-
-+
+-
Schritt 1.5.20
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
+--
-+--+
-+
+-
-+
--
+-
-+
+-
Schritt 1.5.21
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 1.6
Schreibe als eine Menge von Faktoren.
Schritt 2
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 2.2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 2.3
Setze ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Setze in das Polynom ein.
Schritt 2.3.2
Potenziere mit .
Schritt 2.3.3
Potenziere mit .
Schritt 2.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.5
Addiere und .
Schritt 2.3.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.7
Subtrahiere von .
Schritt 2.3.8
Subtrahiere von .
Schritt 2.4
Da eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.
Schritt 2.5
Dividiere durch .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
-+--
Schritt 2.5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-+--
Schritt 2.5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-+--
+-
Schritt 2.5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-+--
-+
Schritt 2.5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-+--
-+
+
Schritt 2.5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
-+--
-+
+-
Schritt 2.5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
+
-+--
-+
+-
Schritt 2.5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
+
-+--
-+
+-
+-
Schritt 2.5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
+
-+--
-+
+-
-+
Schritt 2.5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
+
-+--
-+
+-
-+
+
Schritt 2.5.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
+
-+--
-+
+-
-+
+-
Schritt 2.5.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
++
-+--
-+
+-
-+
+-
Schritt 2.5.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
++
-+--
-+
+-
-+
+-
+-
Schritt 2.5.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
++
-+--
-+
+-
-+
+-
-+
Schritt 2.5.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
++
-+--
-+
+-
-+
+-
-+
Schritt 2.5.16
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 2.6
Schreibe als eine Menge von Faktoren.
Schritt 3
Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.
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Schritt 3.1
Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.1
Schreibe als um.
Schritt 3.1.2
Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.
Schritt 3.1.3
Schreibe das Polynom neu.
Schritt 3.1.4
Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat , wobei und .
Schritt 3.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 4
Fasse gleichartig Faktoren zusammen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.4
Addiere und .