Algebravorstufe Beispiele

$x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Schritt 1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{4} + 2 \cdot 2^{3} - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Schritt 1.3.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 + 2 \cdot 2^{3} - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Schritt 1.3.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$16 + 2 \cdot 8 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 + 16 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Schritt 1.3.5

Addiere $16$ und $16$ .

$32 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

Schritt 1.3.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$32 - 11 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 36$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 11$ mit $4$ .

$32 - 44 - 12 \cdot 2 + 36$

Schritt 1.3.8

Subtrahiere $44$ von $32$ .

$- 12 - 12 \cdot 2 + 36$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$- 12 - 24 + 36$

Schritt 1.3.10

Subtrahiere $24$ von $- 12$ .

$- 36 + 36$

Schritt 1.3.11

Addiere $- 36$ und $36$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36}{x - 2}$

Schritt 1.5

Dividiere $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ durch $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} - 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} - 8 x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{2} + 6 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

Schritt 1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

Schritt 1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 18 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

Schritt 1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

Schritt 1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 18 x + 36$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

Schritt 1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

$0$

Schritt 1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

Schritt 1.6

Schreibe $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 2) (x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18)$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Schritt 2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Schritt 2.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

Schritt 2.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

Schritt 2.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 18$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$8 + 16 - 3 \cdot 2 - 18$

Schritt 2.3.5

Addiere $8$ und $16$ .

$24 - 3 \cdot 2 - 18$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$24 - 6 - 18$

Schritt 2.3.7

Subtrahiere $6$ von $24$ .

$18 - 18$

Schritt 2.3.8

Subtrahiere $18$ von $18$ .

$0$

Schritt 2.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18}{x - 2}$

Schritt 2.5

Dividiere $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ durch $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

Schritt 2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$

Schritt 2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Schritt 2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Schritt 2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$

Schritt 2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Schritt 2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Schritt 2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

Schritt 2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x - 18$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

Schritt 2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

Schritt 2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 6 x + 9$

Schritt 2.6

Schreibe $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 6 x + 9))$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 6 x + 3^{2}))$

Schritt 3.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 3.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}))$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$(x - 2) ((x - 2) {(x + 3)}^{2})$

Schritt 3.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 2) (x - 2) {(x + 3)}^{2}$

Schritt 4

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

${(x - 2)}^{1} (x - 2) {(x + 3)}^{2}$

Schritt 4.2

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} {(x + 3)}^{2}$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - 2)}^{1 + 1} {(x + 3)}^{2}$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}$