Algebravorstufe Beispiele

$\frac{6 x^{2} + 36 x y + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \div \frac{7 x + 21 x}{x + y}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{6 x^{2} + 36 x y + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 36 x y + 54 y^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{6 (x^{2}) + 36 x y + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $36 x y$ heraus.

$\frac{6 (x^{2}) + 6 (6 x y) + 54 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $54 y^{2}$ heraus.

$\frac{6 (x^{2}) + 6 (6 x y) + 6 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2}) + 6 (6 x y)$ heraus.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y) + 6 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2} + 6 x y) + 6 (9 y^{2})$ heraus.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $9 y^{2}$ als ${(3 y)}^{2}$ um.

$\frac{6 (x^{2} + 6 x y + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x y = 2 \cdot x \cdot (3 y)$

Schritt 2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{6 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot (3 y) + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3 y$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 1 \cdot 5 = 5$ und deren Summe gleich $b = 6$ ist.

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Schritt 3.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 5 y^{2} + 6 x y} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 3.1.2

Stelle $5 y^{2}$ und $6 x y$ um.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 x y$ heraus.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $6$ um als $1$ plus $5$

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + (1 + 5) (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 1 (x y) + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $x y$ mit $1$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 3.1.7

Versetze die Klammern.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x^{2} + x y) + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x (x + y) + 5 y (x + y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + y$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + y$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{7 x + 21 x}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y} \cdot \frac{1}{7 x + 21 x}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y}$ mit $\frac{1}{7 x + 21 x}$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (7 x + 21 x)}$

Schritt 6

Addiere $7 x$ und $21 x$ .

$\frac{6 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) \cdot 28 x}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $28$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $6 {(x + 3 y)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 {(x + 3 y)}^{2})}{(x + 5 y) \cdot 28 x}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $(x + 5 y) \cdot 28 x$ heraus.

$\frac{2 (3 {(x + 3 y)}^{2})}{2 ((x + 5 y) \cdot 14 x)}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 {(x + 3 y)}^{2})}{2 ((x + 5 y) \cdot 14 x)}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) \cdot 14 x}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Bringe $14$ auf die linke Seite von $x + 5 y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{14 \cdot (x + 5 y) x}$

Schritt 8.2

Stelle die Faktoren in $\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{14 (x + 5 y) x}$ um.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{14 x (x + 5 y)}$