Algebravorstufe Beispiele

$\frac{5 x^{2} - 14 x - 24}{x^{2} - 7 x + 12}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 24 = - 120$ und deren Summe gleich $b = - 14$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $- 14$ aus $- 14 x$ heraus.

$\frac{5 x^{2} - 14 (x) - 24}{x^{2} - 7 x + 12}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- 14$ um als $6$ plus $- 20$

$\frac{5 x^{2} + (6 - 20) x - 24}{x^{2} - 7 x + 12}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} + 6 x - 20 x - 24}{x^{2} - 7 x + 12}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(5 x^{2} + 6 x) - 20 x - 24}{x^{2} - 7 x + 12}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (5 x + 6) - 4 (5 x + 6)}{x^{2} - 7 x + 12}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 6$ .

$\frac{(5 x + 6) (x - 4)}{x^{2} - 7 x + 12}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 4, - 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(5 x + 6) (x - 4)}{(x - 4) (x - 3)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 x + 6) (x - 4)}{(x - 4) (x - 3)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x + 6}{x - 3}$