Algebravorstufe Beispiele

$\frac{\frac{x - y}{x + y} + \frac{x + y}{x - y}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(x + y) (x - y) y x$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{x - y}{x + y} + \frac{x + y}{x - y}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$ mit $\frac{(x + y) (x - y) y x}{(x + y) (x - y) y x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y) y x}{(x + y) (x - y) y x} \cdot \frac{\frac{x - y}{x + y} + \frac{x + y}{x - y}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{(x + y) (x - y) y x (\frac{x - y}{x + y} + \frac{x + y}{x - y})}{(x + y) (x - y) y x (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + y) (x - y) y x \frac{x - y}{x + y} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + y$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x + y$ aus $(x + y) (x - y) y x$ heraus.

$\frac{(x + y) ((x - y) y x) \frac{x - y}{x + y} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + y) ((x - y) y x) \frac{x - y}{x + y} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - y) y x (x - y) + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.2

Potenziere $x - y$ mit $1$ .

$\frac{y x ({(x - y)}^{1} (x - y)) + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.3

Potenziere $x - y$ mit $1$ .

$\frac{y x ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1}) + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x {(x - y)}^{1 + 1} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + (x + y) (x - y) y x \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - y$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x - y$ aus $(x + y) (x - y) y x$ heraus.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + (x - y) ((x + y) y x) \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + (x - y) ((x + y) y x) \frac{x + y}{x - y}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + (x + y) y x (x + y)}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.7

Potenziere $x + y$ mit $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x ({(x + y)}^{1} (x + y))}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.8

Potenziere $x + y$ mit $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x ({(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1})}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{1 + 1}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) y x \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.11.1

Faktorisiere $y$ aus $(x + y) (x - y) y x$ heraus.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{y ((x + y) (x - y) x) \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{y ((x + y) (x - y) x) \frac{x}{y} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x \cdot x + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) (x^{1} x) + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) (x^{1} x^{1}) + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{1 + 1} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.15

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y x \frac{y}{x}}$

Schritt 3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.16.1

Faktorisiere $x$ aus $(x + y) (x - y) y x$ heraus.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + x ((x + y) (x - y) y) \frac{y}{x}}$

Schritt 3.16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + x ((x + y) (x - y) y) \frac{y}{x}}$

Schritt 3.16.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y \cdot y}$

Schritt 3.17

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) (y^{1} y)}$

Schritt 3.18

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) (y^{1} y^{1})}$

Schritt 3.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{1 + 1}}$

Schritt 3.20

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $y x$ aus $y x {(x - y)}^{2} + y x {(x + y)}^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $y x$ aus $y x {(x - y)}^{2}$ heraus.

$\frac{y x ({(x - y)}^{2}) + y x {(x + y)}^{2}}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $y x$ aus $y x {(x + y)}^{2}$ heraus.

$\frac{y x ({(x - y)}^{2}) + y x ({(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $y x$ aus $y x ({(x - y)}^{2}) + y x ({(x + y)}^{2})$ heraus.

$\frac{y x ({(x - y)}^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe ${(x - y)}^{2}$ als $(x - y) (x - y)$ um.

$\frac{y x ((x - y) (x - y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.3

Multipliziere $(x - y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y x (x (x - y) - y (x - y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y x (x \cdot x + x (- y) - y (x - y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y x (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{y x (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x - y (- y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.4.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.4.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1.4.1

Bewege $y$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.4.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.4.1.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - y x + y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $y x$ von $- x y$ .

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Schritt 4.4.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{y x (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + {(x + y)}^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe ${(x + y)}^{2}$ als $(x + y) (x + y)$ um.

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + (x + y) (x + y))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.6

Multipliziere $(x + y) (x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x (x + y) + y (x + y))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y)}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.7.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.7.2

Addiere $x y$ und $y x$ .

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Schritt 4.7.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.7.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$\frac{y x (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.8

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{y x (2 x^{2} - 2 x y + y^{2} + 2 x y + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.9

Addiere $- 2 x y$ und $2 x y$ .

$\frac{y x (2 x^{2} + y^{2} + 0 + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.10

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{y x (2 x^{2} + y^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.11

Addiere $y^{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y x (2 x^{2} + 2 y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.12

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 y^{2}$ heraus.

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Schritt 4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{y x (2 (x^{2}) + 2 y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.12.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$\frac{y x (2 (x^{2}) + 2 (y^{2}))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 4.12.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ heraus.

$\frac{y x (2 (x^{2} + y^{2}))}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $(x + y) (x - y)$ aus $(x + y) (x - y) x^{2} + (x + y) (x - y) y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $(x + y) (x - y)$ aus $(x + y) (x - y) x^{2}$ heraus.

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2}) + (x + y) (x - y) y^{2}}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $(x + y) (x - y)$ aus $(x + y) (x - y) y^{2}$ heraus.

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2}) + (x + y) (x - y) (y^{2})}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $(x + y) (x - y)$ aus $(x + y) (x - y) (x^{2}) + (x + y) (x - y) (y^{2})$ heraus.

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x \cdot 2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x \cdot 2}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y x$ .

$\frac{2 y x}{(x + y) (x - y)}$