Algebravorstufe Beispiele

$\frac{\frac{b^{2} - 6 b + 9}{b^{2} - b - 6}}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{b^{2} - 6 b + 9}{b^{2} - b - 6} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{b^{2} - 6 b + 3^{2}}{b^{2} - b - 6} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 b = 2 \cdot b \cdot 3$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{b^{2} - 2 \cdot b \cdot 3 + 3^{2}}{b^{2} - b - 6} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = b$ und $b = 3$ .

$\frac{{(b - 3)}^{2}}{b^{2} - b - 6} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Schritt 3

Faktorisiere $b^{2} - b - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{{(b - 3)}^{2}}{(b - 3) (b + 2)} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(b - 3)}^{2}$ und $b - 3$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $b - 3$ aus ${(b - 3)}^{2}$ heraus.

$\frac{(b - 3) (b - 3)}{(b - 3) (b + 2)} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(b - 3) (b - 3)}{(b - 3) (b + 2)} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{b^{2} - \frac{9}{4}}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Um $b^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{b^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}$

Schritt 5.2

Kombiniere $b^{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{\frac{b^{2} \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{\frac{b^{2} \cdot 4 - 9}{4}}$

Schritt 5.4

Schreibe $\frac{b^{2} \cdot 4 - 9}{4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $b^{2} \cdot 4$ als ${(b \cdot 2)}^{2}$ um.

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{\frac{{(b \cdot 2)}^{2} - 9}{4}}$

Schritt 5.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{\frac{{(b \cdot 2)}^{2} - 3^{2}}{4}}$

Schritt 5.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = b \cdot 2$ und $b = 3$ .

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{\frac{(b \cdot 2 + 3) (b \cdot 2 - 3)}{4}}$

Schritt 5.4.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b$ .

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{\frac{(2 \cdot b + 3) (b \cdot 2 - 3)}{4}}$

Schritt 5.4.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b$ .

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{1}{\frac{(2 b + 3) (2 b - 3)}{4}}$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{b - 3}{b + 2} (1 \frac{4}{(2 b + 3) (2 b - 3)})$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{4}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$ mit $1$ .

$\frac{b - 3}{b + 2} \cdot \frac{4}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{b - 3}{b + 2}$ mit $\frac{4}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$ .

$\frac{(b - 3) \cdot 4}{(b + 2) ((2 b + 3) (2 b - 3))}$

Schritt 9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $b - 3$ .

$\frac{4 (b - 3)}{(b + 2) (2 b + 3) (2 b - 3)}$