Algebravorstufe Beispiele

$\frac{\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 10 x + 25}}{\frac{x + 5}{x - 5}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{x - 5}{x + 5}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{x - 5}{x + 5}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{x - 5}{x + 5}$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} - 10 x + 5^{2}} \cdot \frac{x - 5}{x + 5}$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} \cdot \frac{x - 5}{x + 5}$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 5}{x + 5}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 5}{x + 5}$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{2}} (x - 5)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x - 5$ aus ${(x - 5)}^{2}$ heraus.

$\frac{x - 5}{(x - 5) (x - 5)} (x - 5)$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 5}{(x - 5) (x - 5)} (x - 5)$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 5}{x - 5}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 5}{x - 5}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$