Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1 + \frac{1}{y}}{1 - \frac{1}{y^{2}}}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \frac{1}{y}}{1 - \frac{1}{y^{2}}}$ mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{1 + \frac{1}{y}}{1 - \frac{1}{y^{2}}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{y^{2} (1 + \frac{1}{y})}{y^{2} (1 - \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \frac{1}{y}}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y \cdot y \frac{1}{y}}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y \cdot y \frac{1}{y}}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y}{y^{2} \cdot 1 - 1}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} \cdot 1 + y$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} \cdot 1$ heraus.

$\frac{y (y \cdot 1) + y}{y^{2} \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y (y \cdot 1) + y^{1}}{y^{2} \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{y (y \cdot 1) + y \cdot 1}{y^{2} \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $y$ aus $y (y \cdot 1) + y \cdot 1$ heraus.

$\frac{y (y \cdot 1 + 1)}{y^{2} \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y (y + 1)}{y^{2} \cdot 1 - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $y^{2} \cdot 1$ als ${(y \cdot 1)}^{2}$ um.

$\frac{y (y + 1)}{{(y \cdot 1)}^{2} - 1}$

Schritt 5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{y (y + 1)}{{(y \cdot 1)}^{2} - 1^{2}}$

Schritt 5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y \cdot 1$ und $b = 1$ .

$\frac{y (y + 1)}{(y \cdot 1 + 1) (y \cdot 1 - 1)}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y (y + 1)}{(y + 1) (y \cdot 1 - 1)}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y (y + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (y + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y - 1}$