Algebravorstufe Beispiele

${(\sqrt{3} + 4 \sqrt{7})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(\sqrt{3} + 4 \sqrt{7})}^{2}$ als $(\sqrt{3} + 4 \sqrt{7}) (\sqrt{3} + 4 \sqrt{7})$ um.

$(\sqrt{3} + 4 \sqrt{7}) (\sqrt{3} + 4 \sqrt{7})$

Schritt 2

Multipliziere $(\sqrt{3} + 4 \sqrt{7}) (\sqrt{3} + 4 \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} (\sqrt{3} + 4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} (\sqrt{3} + 4 \sqrt{7})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} (\sqrt{3} + 4 \sqrt{7})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} \sqrt{3} + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} \sqrt{3} + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\sqrt{9} + \sqrt{3} (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} \sqrt{3} + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})$

Schritt 3.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} \sqrt{3} + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})$

Schritt 3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3 + \sqrt{3} (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} \sqrt{3} + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $\sqrt{3} (4 \sqrt{7})$ .

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Schritt 3.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$3 + 4 \sqrt{3 \cdot 7} + 4 \sqrt{7} \sqrt{3} + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{7} \sqrt{3} + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})$

Schritt 3.1.6

Multipliziere $4 \sqrt{7} \sqrt{3}$ .

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Schritt 3.1.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{3 \cdot 7} + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})$

Schritt 3.1.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})$

Schritt 3.1.7

Multipliziere $4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})$ .

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Schritt 3.1.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{21} + 16 \sqrt{7} \sqrt{7}$

Schritt 3.1.7.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{21} + 16 ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7})$

Schritt 3.1.7.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{21} + 16 ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1})$

Schritt 3.1.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{21} + 16 {\sqrt{7}}^{1 + 1}$

Schritt 3.1.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{21} + 16 {\sqrt{7}}^{2}$

Schritt 3.1.8

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 3.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{21} + 16 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{21} + 16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{21} + 16 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{21} + 16 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{21} + 16 \cdot 7^{1}$

Schritt 3.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{21} + 16 \cdot 7$

Schritt 3.1.9

Mutltipliziere $16$ mit $7$ .

$3 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{21} + 112$

Schritt 3.2

Addiere $3$ und $112$ .

$115 + 4 \sqrt{21} + 4 \sqrt{21}$

Schritt 3.3

Addiere $4 \sqrt{21}$ und $4 \sqrt{21}$ .

$115 + 8 \sqrt{21}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$115 + 8 \sqrt{21}$

Dezimalform:

$151.66060555 \dots$