Algebravorstufe Beispiele

$3 m (m + n) - (m - n) (m + n)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 m \cdot m + 3 m n - (m - n) (m + n)$

Schritt 1.2

Multipliziere $m$ mit $m$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Bewege $m$ .

$3 (m \cdot m) + 3 m n - (m - n) (m + n)$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$3 m^{2} + 3 m n - (m - n) (m + n)$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 m^{2} + 3 m n + (- m - - n) (m + n)$

Schritt 1.4

Multipliziere $- - n$ .

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 m^{2} + 3 m n + (- m + 1 n) (m + n)$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$3 m^{2} + 3 m n + (- m + n) (m + n)$

Schritt 1.5

Multipliziere $(- m + n) (m + n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 m^{2} + 3 m n - m (m + n) + n (m + n)$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 m^{2} + 3 m n - m \cdot m - m n + n (m + n)$

Schritt 1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 m^{2} + 3 m n - m \cdot m - m n + n m + n \cdot n$

Schritt 1.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- m \cdot m - m n + n m + n \cdot n$ .

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Schritt 1.6.1

Ordne die Faktoren in den Termen $- m n$ und $n m$ neu an.

$3 m^{2} + 3 m n - m \cdot m - m n + m n + n \cdot n$

Schritt 1.6.2

Addiere $- m n$ und $m n$ .

$3 m^{2} + 3 m n - m \cdot m + 0 + n \cdot n$

Schritt 1.6.3

Addiere $- m \cdot m$ und $0$ .

$3 m^{2} + 3 m n - m \cdot m + n \cdot n$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1

Multipliziere $m$ mit $m$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.1.1

Bewege $m$ .

$3 m^{2} + 3 m n - (m \cdot m) + n \cdot n$

Schritt 1.7.1.2

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$3 m^{2} + 3 m n - m^{2} + n \cdot n$

Schritt 1.7.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$3 m^{2} + 3 m n - m^{2} + n^{2}$

Schritt 2

Subtrahiere $m^{2}$ von $3 m^{2}$ .

$2 m^{2} + 3 m n + n^{2}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 3.1.1

Stelle die Terme um.

$2 m^{2} + n^{2} + 3 m n$

Schritt 3.1.2

Stelle $n^{2}$ und $3 m n$ um.

$2 m^{2} + 3 m n + n^{2}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 m n$ heraus.

$2 m^{2} + 3 (m n) + n^{2}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $3$ um als $1$ plus $2$

$2 m^{2} + (1 + 2) (m n) + n^{2}$

Schritt 3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 m^{2} + 1 (m n) + 2 (m n) + n^{2}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $m n$ mit $1$ .

$2 m^{2} + m n + 2 (m n) + n^{2}$

Schritt 3.1.7

Entferne unnötige Klammern.

$2 m^{2} + m n + 2 m n + n^{2}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 m^{2} + m n) + 2 m n + n^{2}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$m (2 m + n) + n (2 m + n)$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 m + n$ .

$(2 m + n) (m + n)$