Algebravorstufe Beispiele

$216 x^{6} + 19 x^{3} - 1$

Schritt 1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

$216 {(x^{3})}^{2} + 19 x^{3} - 1$

Schritt 2

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$216 u^{2} + 19 u - 1$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 216 \cdot - 1 = - 216$ und deren Summe gleich $b = 19$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $19$ aus $19 u$ heraus.

$216 u^{2} + 19 (u) - 1$

Schritt 3.1.2

Schreibe $19$ um als $- 8$ plus $27$

$216 u^{2} + (- 8 + 27) u - 1$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$216 u^{2} - 8 u + 27 u - 1$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(216 u^{2} - 8 u) + 27 u - 1$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$8 u (27 u - 1) + 1 (27 u - 1)$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $27 u - 1$ .

$(27 u - 1) (8 u + 1)$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$(27 x^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

Schritt 5

Schreibe $27 x^{3}$ als ${(3 x)}^{3}$ um.

$({(3 x)}^{3} - 1) (8 x^{3} + 1)$

Schritt 6

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$({(3 x)}^{3} - 1^{3}) (8 x^{3} + 1)$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 3 x$ und $b = 1$ .

$(3 x - 1) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$(3 x - 1) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Schritt 8.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1^{2}) (8 x^{3} + 1)$

Schritt 8.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (8 x^{3} + 1)$

Schritt 9

Schreibe $8 x^{3}$ als ${(2 x)}^{3}$ um.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1)$

Schritt 10

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ({(2 x)}^{3} + 1^{3})$

Schritt 11

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 12

Faktorisiere.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (2^{2} x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 12.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 12.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1^{2}))$

Schritt 12.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) ((2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1))$

Schritt 12.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1) (2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)$