Algebravorstufe Beispiele

$x^{28} + x^{15} + x^{13} + 1$

Schritt 1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{28} + x^{15}) + x^{13} + 1$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{15} (x^{13} + 1) + 1 (x^{13} + 1)$

Schritt 2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x^{13} + 1$ .

$(x^{13} + 1) (x^{15} + 1)$

Schritt 3

Schreibe $x^{15}$ als ${(x^{5})}^{3}$ um.

$(x^{13} + 1) ({(x^{5})}^{3} + 1)$

Schritt 4

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$(x^{13} + 1) ({(x^{5})}^{3} + 1^{3})$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x^{5}$ und $b = 1$ .

$(x^{13} + 1) ((x^{5} + 1) ({(x^{5})}^{2} - x^{5} \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{13} + 1) ((x^{5} + 1) (x^{5 \cdot 2} - x^{5} \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 6.1.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$(x^{13} + 1) ((x^{5} + 1) (x^{10} - x^{5} \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x^{13} + 1) ((x^{5} + 1) (x^{10} - x^{5} + 1^{2}))$

Schritt 6.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x^{13} + 1) ((x^{5} + 1) (x^{10} - x^{5} + 1))$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{13} + 1) (x^{5} + 1) (x^{10} - x^{5} + 1)$