Algebravorstufe Beispiele

$64 a^{3} + 20 a - 125 b^{3} - 25 b$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$64 a^{3} - 125 b^{3} + 20 a - 25 b$

Schritt 2

Schreibe $64 a^{3}$ als ${(4 a)}^{3}$ um.

${(4 a)}^{3} - 125 b^{3} + 20 a - 25 b$

Schritt 3

Schreibe $125 b^{3}$ als ${(5 b)}^{3}$ um.

${(4 a)}^{3} - {(5 b)}^{3} + 20 a - 25 b$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 4 a$ und $b = 5 b$ .

$(4 a - (5 b)) ({(4 a)}^{2} + 4 a (5 b) + {(5 b)}^{2}) + 20 a - 25 b$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$(4 a - 5 b) ({(4 a)}^{2} + 4 a (5 b) + {(5 b)}^{2}) + 20 a - 25 b$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel auf $4 a$ an.

$(4 a - 5 b) (4^{2} a^{2} + 4 a (5 b) + {(5 b)}^{2}) + 20 a - 25 b$

Schritt 5.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(4 a - 5 b) (16 a^{2} + 4 a (5 b) + {(5 b)}^{2}) + 20 a - 25 b$

Schritt 5.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 a - 5 b) (16 a^{2} + 4 \cdot 5 a b + {(5 b)}^{2}) + 20 a - 25 b$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$(4 a - 5 b) (16 a^{2} + 20 a b + {(5 b)}^{2}) + 20 a - 25 b$

Schritt 5.6

Wende die Produktregel auf $5 b$ an.

$(4 a - 5 b) (16 a^{2} + 20 a b + 5^{2} b^{2}) + 20 a - 25 b$

Schritt 5.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(4 a - 5 b) (16 a^{2} + 20 a b + 25 b^{2}) + 20 a - 25 b$

Schritt 6

Faktorisiere $5$ aus $20 a - 25 b$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $5$ aus $20 a$ heraus.

$(4 a - 5 b) (16 a^{2} + 20 a b + 25 b^{2}) + 5 (4 a) - 25 b$

Schritt 6.2

Faktorisiere $5$ aus $- 25 b$ heraus.

$(4 a - 5 b) (16 a^{2} + 20 a b + 25 b^{2}) + 5 (4 a) + 5 (- 5 b)$

Schritt 6.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (4 a) + 5 (- 5 b)$ heraus.

$(4 a - 5 b) (16 a^{2} + 20 a b + 25 b^{2}) + 5 (4 a - 5 b)$

Schritt 7

Faktorisiere $4 a - 5 b$ aus $(4 a - 5 b) (16 a^{2} + 20 a b + 25 b^{2}) + 5 (4 a - 5 b)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $4 a - 5 b$ aus $5 (4 a - 5 b)$ heraus.

$(4 a - 5 b) (16 a^{2} + 20 a b + 25 b^{2}) + (4 a - 5 b) \cdot 5$

Schritt 7.2

Faktorisiere $4 a - 5 b$ aus $(4 a - 5 b) (16 a^{2} + 20 a b + 25 b^{2}) + (4 a - 5 b) \cdot 5$ heraus.

$(4 a - 5 b) (16 a^{2} + 20 a b + 25 b^{2} + 5)$