Algebravorstufe Beispiele

$8 x^{5} - 125 x^{2} y^{3}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $8 x^{5} - 125 x^{2} y^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $8 x^{5}$ heraus.

$x^{2} (8 x^{3}) - 125 x^{2} y^{3}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 125 x^{2} y^{3}$ heraus.

$x^{2} (8 x^{3}) + x^{2} (- 125 y^{3})$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (8 x^{3}) + x^{2} (- 125 y^{3})$ heraus.

$x^{2} (8 x^{3} - 125 y^{3})$

Schritt 2

Schreibe $8 x^{3}$ als ${(2 x)}^{3}$ um.

$x^{2} ({(2 x)}^{3} - 125 y^{3})$

Schritt 3

Schreibe $125 y^{3}$ als ${(5 y)}^{3}$ um.

$x^{2} ({(2 x)}^{3} - {(5 y)}^{3})$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 2 x$ und $b = 5 y$ .

$x^{2} ((2 x - (5 y)) ({(2 x)}^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2}))$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$x^{2} ((2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2}))$

Schritt 5.1.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$x^{2} ((2 x - 5 y) (2^{2} x^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2}))$

Schritt 5.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} ((2 x - 5 y) (4 x^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2}))$

Schritt 5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} ((2 x - 5 y) (4 x^{2} + 2 \cdot 5 x y + {(5 y)}^{2}))$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x^{2} ((2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + {(5 y)}^{2}))$

Schritt 5.1.6

Wende die Produktregel auf $5 y$ an.

$x^{2} ((2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 5^{2} y^{2}))$

Schritt 5.1.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} ((2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}))$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2})$