Algebravorstufe Beispiele

$8 a^{4} - 125 a b^{3}$

Schritt 1

Faktorisiere $a$ aus $8 a^{4} - 125 a b^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $a$ aus $8 a^{4}$ heraus.

$a (8 a^{3}) - 125 a b^{3}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $a$ aus $- 125 a b^{3}$ heraus.

$a (8 a^{3}) + a (- 125 b^{3})$

Schritt 1.3

Faktorisiere $a$ aus $a (8 a^{3}) + a (- 125 b^{3})$ heraus.

$a (8 a^{3} - 125 b^{3})$

Schritt 2

Schreibe $8 a^{3}$ als ${(2 a)}^{3}$ um.

$a ({(2 a)}^{3} - 125 b^{3})$

Schritt 3

Schreibe $125 b^{3}$ als ${(5 b)}^{3}$ um.

$a ({(2 a)}^{3} - {(5 b)}^{3})$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 2 a$ und $b = 5 b$ .

$a ((2 a - (5 b)) ({(2 a)}^{2} + 2 a (5 b) + {(5 b)}^{2}))$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$a ((2 a - 5 b) ({(2 a)}^{2} + 2 a (5 b) + {(5 b)}^{2}))$

Schritt 5.1.2

Wende die Produktregel auf $2 a$ an.

$a ((2 a - 5 b) (2^{2} a^{2} + 2 a (5 b) + {(5 b)}^{2}))$

Schritt 5.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$a ((2 a - 5 b) (4 a^{2} + 2 a (5 b) + {(5 b)}^{2}))$

Schritt 5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a ((2 a - 5 b) (4 a^{2} + 2 \cdot 5 a b + {(5 b)}^{2}))$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$a ((2 a - 5 b) (4 a^{2} + 10 a b + {(5 b)}^{2}))$

Schritt 5.1.6

Wende die Produktregel auf $5 b$ an.

$a ((2 a - 5 b) (4 a^{2} + 10 a b + 5^{2} b^{2}))$

Schritt 5.1.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$a ((2 a - 5 b) (4 a^{2} + 10 a b + 25 b^{2}))$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$a (2 a - 5 b) (4 a^{2} + 10 a b + 25 b^{2})$