Algebravorstufe Beispiele

$27 x^{6} - 8 y^{3}$

Schritt 1

Schreibe $27 x^{6}$ als ${(3 x^{2})}^{3}$ um.

${(3 x^{2})}^{3} - 8 y^{3}$

Schritt 2

Schreibe $8 y^{3}$ als ${(2 y)}^{3}$ um.

${(3 x^{2})}^{3} - {(2 y)}^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 3 x^{2}$ und $b = 2 y$ .

$(3 x^{2} - (2 y)) ({(3 x^{2})}^{2} + 3 x^{2} (2 y) + {(2 y)}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(3 x^{2} - 2 y) ({(3 x^{2})}^{2} + 3 x^{2} (2 y) + {(2 y)}^{2})$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $3 x^{2}$ an.

$(3 x^{2} - 2 y) (3^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} (2 y) + {(2 y)}^{2})$

Schritt 4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(3 x^{2} - 2 y) (9 {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} (2 y) + {(2 y)}^{2})$

Schritt 4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(3 x^{2} - 2 y) (9 x^{2 \cdot 2} + 3 x^{2} (2 y) + {(2 y)}^{2})$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(3 x^{2} - 2 y) (9 x^{4} + 3 x^{2} (2 y) + {(2 y)}^{2})$

Schritt 4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(3 x^{2} - 2 y) (9 x^{4} + 3 \cdot 2 x^{2} y + {(2 y)}^{2})$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(3 x^{2} - 2 y) (9 x^{4} + 6 x^{2} y + {(2 y)}^{2})$

Schritt 4.7

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$(3 x^{2} - 2 y) (9 x^{4} + 6 x^{2} y + 2^{2} y^{2})$

Schritt 4.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(3 x^{2} - 2 y) (9 x^{4} + 6 x^{2} y + 4 y^{2})$