Algebravorstufe Beispiele

$3 \sqrt{125}$ , $2 \sqrt{180}$ , $\sqrt{147}$

Schritt 1

Schreibe $125$ als $5^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$3 \sqrt{25 (5)}, 2 \sqrt{180}, \sqrt{147}$

Schritt 1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$3 \sqrt{5^{2} \cdot 5}, 2 \sqrt{180}, \sqrt{147}$

Schritt 2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 (5 \sqrt{5}), 2 \sqrt{180}, \sqrt{147}$

Schritt 3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 \sqrt{5}, 2 \sqrt{180}, \sqrt{147}$

Schritt 4

Schreibe $180$ als $6^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $36$ aus $180$ heraus.

$15 \sqrt{5}, 2 \sqrt{36 (5)}, \sqrt{147}$

Schritt 4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$15 \sqrt{5}, 2 \sqrt{6^{2} \cdot 5}, \sqrt{147}$

Schritt 5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$15 \sqrt{5}, 2 (6 \sqrt{5}), \sqrt{147}$

Schritt 6

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$15 \sqrt{5}, 12 \sqrt{5}, \sqrt{147}$

Schritt 7

Schreibe $147$ als $7^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $49$ aus $147$ heraus.

$15 \sqrt{5}, 12 \sqrt{5}, \sqrt{49 (3)}$

Schritt 7.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$15 \sqrt{5}, 12 \sqrt{5}, \sqrt{7^{2} \cdot 3}$

Schritt 8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$15 \sqrt{5}, 12 \sqrt{5}, 7 \sqrt{3}$

Schritt 9

Wende die Formel an, um das geometrische Mittel zu bestimmen.

$\sqrt[3]{15 \sqrt{5} \cdot (12 \sqrt{5}) \cdot (7 \sqrt{3})}$

Schritt 10

Mutltipliziere $12$ mit $15$ .

$\sqrt[3]{180 \sqrt{5} \sqrt{5} \cdot 7 \sqrt{3}}$

Schritt 11

Mutltipliziere $7$ mit $180$ .

$\sqrt[3]{1260 \sqrt{5} \sqrt{5} \sqrt{3}}$

Schritt 12

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sqrt[3]{1260 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) \sqrt{3}}$

Schritt 13

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sqrt[3]{1260 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) \sqrt{3}}$

Schritt 14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt[3]{1260 {\sqrt{5}}^{1 + 1} \sqrt{3}}$

Schritt 15

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt[3]{1260 {\sqrt{5}}^{2} \sqrt{3}}$

Schritt 16

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 16.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt[3]{1260 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{3}}$

Schritt 16.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{1260 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{3}}$

Schritt 16.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt[3]{1260 \cdot 5^{\frac{2}{2}} \sqrt{3}}$

Schritt 16.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt[3]{1260 \cdot 5^{\frac{2}{2}} \sqrt{3}}$

Schritt 16.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[3]{1260 \cdot 5^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 16.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt[3]{1260 \cdot 5 \sqrt{3}}$

Schritt 17

Mutltipliziere $1260$ mit $5$ .

$\sqrt[3]{6300 \sqrt{3}}$

Schritt 18

Approximiere das Ergebnis.

$22.18028176$

Schritt 19

Das geometrische Mittel sollte auf eine Dezimalstelle mehr gerundet werden als die ursprünglichen Daten haben. Wenn die ursprünglichen Daten diesbezüglich inhomogen sind, runde auf eine Dezimalstelle mehr als der geringsten Genauigkeit entspricht.

$22.2$