Algebravorstufe Beispiele

$\frac{y^{2} - 13}{y^{2} - 2 y - 3} - \frac{1}{3 - y}$

Schritt 1

Faktorisiere $y^{2} - 2 y - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{3 - y}$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (- 3) - y}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (- 3) - (y)}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 3) - (y)$ heraus.

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (- 3 + y)}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} - \frac{1}{- 1 (y - 3)}$

Schritt 3

Um $\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{1}{- 1 (y - 3)}$

Schritt 4

Um $- \frac{1}{- 1 (y - 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{1}{- 1 (y - 3)} \cdot \frac{y + 1}{y + 1}$

Schritt 5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(y - 3) (y + 1) \cdot - 1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2} - 13}{(y - 3) (y + 1)}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{(y - 3) (y + 1) \cdot - 1} - \frac{1}{- 1 (y - 3)} \cdot \frac{y + 1}{y + 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{- 1 (y - 3)}$ mit $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{(y - 3) (y + 1) \cdot - 1} - \frac{y + 1}{- 1 (y - 3) (y + 1)}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $(y - 3) (y + 1) \cdot - 1$ um.

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{- (y + 1) (y - 3)} - \frac{y + 1}{- 1 (y - 3) (y + 1)}$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren von $- 1 (y - 3) (y + 1)$ um.

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1}{- (y + 1) (y - 3)} - \frac{y + 1}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(y^{2} - 13) \cdot - 1 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} \cdot - 1 - 13 \cdot - 1 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 7.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2} - 13 \cdot - 1 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 13$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2} + 13 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 7.4

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$\frac{- y^{2} + 13 - (y + 1)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- y^{2} + 13 - y - 1 \cdot 1}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- y^{2} + 13 - y - 1}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 7.7

Subtrahiere $1$ von $13$ .

$\frac{- y^{2} - y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 7.8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 7.8.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{- y^{2} - (y) + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 7.8.1.2

Schreibe $- 1$ um als $3$ plus $- 4$

$\frac{- y^{2} + (3 - 4) y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 7.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- y^{2} + 3 y - 4 y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 7.8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- y^{2} + 3 y) - 4 y + 12}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 7.8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{y (- y + 3) + 4 (- y + 3)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 7.8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- y + 3$ .

$\frac{(- y + 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- y + 3$ und $y - 3$ .

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{(- (y) + 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 8.1.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{(- (y) - 1 (- 3)) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{- (y - 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $- (y - 3)$ als $- 1 (y - 3)$ um.

$\frac{- 1 (y - 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 8.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (y - 3) (y + 4)}{- (y + 1) (y - 3)}$

Schritt 8.1.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (y + 4)}{- (y + 1)}$

Schritt 8.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y + 4}{y + 1}$