Algebravorstufe Beispiele

$\frac{3 z - 7}{z^{2} - 4 z - 32} - \frac{z + 8}{z^{2} - 16}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $z^{2} - 4 z - 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 32$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 8, 4$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{z^{2} - 16}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{z^{2} - 4^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = z$ und $b = 4$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$

Schritt 2

Um $\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{z - 4}{z - 4}$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} \cdot \frac{z - 4}{z - 4} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$

Schritt 3

Um $- \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{z - 8}{z - 8}$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} \cdot \frac{z - 4}{z - 4} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{z - 8}{z - 8}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(z - 8) (z + 4) (z - 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)}$ mit $\frac{z - 4}{z - 4}$ .

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z - 8) (z + 4) (z - 4)} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{z - 8}{z - 8}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$ mit $\frac{z - 8}{z - 8}$ .

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z - 8) (z + 4) (z - 4)} - \frac{(z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(z - 8) (z + 4) (z - 4)$ um.

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)} - \frac{(z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(3 z - 7) (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(3 z - 7) (z - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 z (z - 4) - 7 (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 - 7 (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.1.1

Bewege $z$ .

$\frac{3 (z \cdot z) + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$\frac{3 z^{2} + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{3 z^{2} - 12 z - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 4$ .

$\frac{3 z^{2} - 12 z - 7 z + 28 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $7 z$ von $- 12 z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 + (- z - 1 \cdot 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 + (- z - 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.5

Multipliziere $(- z - 8) (z - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z (z - 8) - 8 (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z \cdot z - z \cdot - 8 - 8 (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z \cdot z - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1.1

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1.1.1

Bewege $z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - (z \cdot z) - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.6.1.1.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.6.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 8 z - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.6.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 8 z - 8 z + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.6.2

Subtrahiere $8 z$ von $8 z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 0 + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.6.3

Addiere $- z^{2}$ und $0$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.7

Subtrahiere $z^{2}$ von $3 z^{2}$ .

$\frac{2 z^{2} - 19 z + 28 + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Schritt 6.8

Addiere $28$ und $64$ .

$\frac{2 z^{2} - 19 z + 92}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$