Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{10 x^{5}}$ , $\frac{1}{3 x^{4}}$ , $\frac{12}{5 x^{2}}$

Schritt 1

Since $\frac{1}{10 x^{5}}, \frac{1}{3 x^{4}}, \frac{12}{5 x^{2}}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $\frac{1}{10}, \frac{1}{3}, \frac{12}{5}$ then find LCM for the variable part $x^{5}, x^{4}, x^{2}$ .

Schritt 2

Um das kgV für eine Liste von Brüchen zu finden, überprüfe, ob die Nenner ähnlich sind oder nicht.

Brüche mit dem gleichen Nenner:

1: $kgV (\frac{a}{b}, \frac{c}{b}) = \frac{kgV (a, c)}{b}$

Brüche mit unterschiedlichen Nennern wie $kgV (\frac{a}{b}, \frac{c}{d})$ :

1: Finde das kgV von $b$ und $d = kgV (b, d)$

2: Multipliziere Zähler und Nenner des ersten Bruchs $\frac{a}{b}$ mit $\frac{kgV (b, d)}{b}$

3: Multipliziere den Zähler und Nenner des zweiten Bruchs $\frac{c}{d}$ mit $\frac{kgV (b, d)}{d}$

4: Nachdem die Nenner aller Brüche gleich gemacht wurden, in diesem Fall nur zwei Brüche, bestimme das kgV der neuen Zähler

5: Das kgV wird $\frac{kgV (Zähler)}{kgV (b, d)}$ sein

Schritt 3

Bestimme das kgV für die Nenner von $\frac{1}{10 x^{5}}, \frac{1}{3 x^{4}}, \frac{12}{5 x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $N$ mit $1$ .

$N \cdot N a, N a N, N a N$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$N^{1 + 1} a, N a N, N a N$

Schritt 3.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$N^{2} a, N a N, N a N$

Schritt 3.1.4

Potenziere $N$ mit $1$ .

$N^{2} a, N \cdot N a, N a N$

Schritt 3.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$N^{2} a, N^{1 + 1} a, N a N$

Schritt 3.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$N^{2} a, N^{2} a, N a N$

Schritt 3.1.7

Potenziere $N$ mit $1$ .

$N^{2} a, N^{2} a, N \cdot N a$

Schritt 3.1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$N^{2} a, N^{2} a, N^{1 + 1} a$

Schritt 3.1.9

Addiere $1$ und $1$ .

$N^{2} a, N^{2} a, N^{2} a$

Schritt 3.2

Since $N^{2} a, N^{2} a, N^{2} a$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $N^{2}, a^{1}, N^{2}, a^{1}, N^{2}, a^{1}$ .

Schritt 3.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 3.6

Die Teiler von $N^{2}$ sind $N \cdot N$ , was $N$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$N^{2} = N \cdot N$

$N$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 3.7

Der Teiler von $a^{1}$ ist $a$ selbst.

$a^{1} = a$

$a$ occurs $1$ time.

Schritt 3.8

Die Teiler von $N^{2}$ sind $N \cdot N$ , was $N$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$N^{2} = N \cdot N$

$N$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 3.9

Der Teiler von $a^{1}$ ist $a$ selbst.

$a^{1} = a$

$a$ occurs $1$ time.

Schritt 3.10

Die Teiler von $N^{2}$ sind $N \cdot N$ , was $N$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$N^{2} = N \cdot N$

$N$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 3.11

Der Teiler von $a^{1}$ ist $a$ selbst.

$a^{1} = a$

$a$ occurs $1$ time.

Schritt 3.12

Das kgV von $N^{2}, a^{1}, N^{2}, a^{1}, N^{2}, a^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$N \cdot N \cdot a$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $N$ mit $N$ .

$N^{2} a$

Schritt 4

Multipliziere jede Zahl mit $\frac{n}{n}$ , wobei $n$ eine Zahl ist, die den $N^{2} a$ als Nenner ergibt.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler und Nenner von $\frac{1}{10 x^{5}}$ mit $\frac{N^{2} a}{10 x^{5}}$ .

$\frac{1 \cdot \frac{N^{2} a}{10 x^{5}}}{10 x^{5} \cdot \frac{N^{2} a}{10 x^{5}}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{N^{2} a}{10 x^{5}}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{N^{2} a}{10 x^{5}}}{10 x^{5} \cdot \frac{N^{2} a}{10 x^{5}}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 x^{5}$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{N^{2} a}{10 x^{5}} \cdot \frac{N^{2} a}{10 x^{5}}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{N^{2} a}{N^{2} a}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler und Nenner von $\frac{1}{3 x^{4}}$ mit $\frac{N^{2} a}{N^{2} a}$ .

$\frac{1 \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}}{3 x^{4} \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{N^{2} a}{N^{2} a}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{N^{2} a}{N^{2} a}}{3 x^{4} \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $N^{2}$ .

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Schritt 4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{N^{2} a}{N^{2} a}}{3 x^{4} \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}}$

Schritt 4.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{a}{a}}{3 x^{4} \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}}$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 4.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{a}{a}}{3 x^{4} \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}}$

Schritt 4.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 x^{4} \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}}$

Schritt 4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor.

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Schritt 4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $N^{2}$ .

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Schritt 4.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 x^{4}} \cdot \frac{N^{2} a}{N^{2} a}$

Schritt 4.8.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 x^{4}} \cdot \frac{a}{a}$

Schritt 4.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 4.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 x^{4}} \cdot \frac{a}{a}$

Schritt 4.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 x^{4}} \cdot 1$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $3 x^{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 x^{4}}$

Schritt 4.10

Multipliziere den Zähler und Nenner von $\frac{12}{5 x^{2}}$ mit $\frac{1}{3 x^{4}}$ .

$\frac{12 \cdot \frac{1}{3 x^{4}}}{5 x^{2} \cdot \frac{1}{3 x^{4}}}$

Schritt 4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.11.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$3 (4) \cdot \frac{\frac{1}{3 x^{4}}}{5 x^{2} \cdot \frac{1}{3 x^{4}}}$

Schritt 4.11.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$3 (4) \cdot \frac{\frac{1}{3 (x^{4})}}{5 x^{2} \cdot \frac{1}{3 x^{4}}}$

Schritt 4.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 4 \cdot \frac{\frac{1}{3 x^{4}}}{5 x^{2} \cdot \frac{1}{3 x^{4}}}$

Schritt 4.11.4

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot \frac{\frac{1}{x^{4}}}{5 x^{2} \cdot \frac{1}{3 x^{4}}}$

Schritt 4.12

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{4}{x^{4}}}{5 x^{2} \cdot \frac{1}{3 x^{4}}}$

Schritt 4.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.13.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$\frac{4}{x^{2}} \cdot 5 \cdot \frac{1}{3 x^{4}}$

Schritt 4.13.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$\frac{4}{x^{2}} \cdot 5 \cdot \frac{1}{x^{2} (3 x^{2})}$

Schritt 4.13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{x^{2}} \cdot 5 \cdot \frac{1}{x^{2} (3 x^{2})}$

Schritt 4.13.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Schritt 4.14

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$\frac{\frac{4}{5}}{3 x^{2}}$

Schritt 4.15

Schreibe die neue Liste mit den gleichen Nennern.

$\frac{N^{2} a}{N^{2} a}, \frac{1}{3 x^{4}}, \frac{\frac{4}{5}}{3 x^{2}}$

Schritt 5

Bestimme das kgV für $N^{2} a, 1, 4$ .

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Schritt 5.1

Since $N^{2} a, 1, 4$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 4$ then find LCM for the variable part $N^{2}, a^{1}$ .

Schritt 5.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 5.4

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 5.6

Die Teiler von $N^{2}$ sind $N \cdot N$ , was $N$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$N^{2} = N \cdot N$

$N$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 5.7

Der Teiler von $a^{1}$ ist $a$ selbst.

$a^{1} = a$

$a$ occurs $1$ time.

Schritt 5.8

Das kgV von $N^{2}, a^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$N \cdot N \cdot a$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $N$ mit $N$ .

$N^{2} a$

Schritt 5.10

Das kgV von $N^{2} a, 1, 4$ ist der numerische Teil $4$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$4 N^{2} a$

Schritt 6

Die Antwort kann gefunden werden, indem man das kgV von $N^{2} a, 1, 4$ nimmt und durch das kgV von $10, 3, 5$ teilt.

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Schritt 6.1

Dividiere das kgV von $N^{2} a, 1, 4$ durch das kgV von $10, 3, 5$ .

$\frac{4 N^{2} a}{N^{2} a}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $N^{2}$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 N^{2} a}{N^{2} a}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 a}{a}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 a}{a}$

Schritt 6.3.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4$

Schritt 7

Die Teiler von $x^{5}$ sind $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ , was $x$ $5$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{5} = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ tritt $5$ -mal auf.

Schritt 8

Die Teiler von $x^{4}$ sind $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , was $x$ $4$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ tritt $4$ -mal auf.

Schritt 9

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 10

Das kgV von $x^{5}, x^{4}, x^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

Schritt 11

Vereinfache $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x \cdot x$

Schritt 11.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 11.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x \cdot x$

Schritt 11.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 1} \cdot x \cdot x$

Schritt 11.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3} \cdot x \cdot x$

Schritt 11.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 11.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1} \cdot x$

Schritt 11.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3 + 1} \cdot x$

Schritt 11.3.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{4} \cdot x$

Schritt 11.4

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.4.1

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 11.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} \cdot x^{1}$

Schritt 11.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4 + 1}$

Schritt 11.4.2

Addiere $4$ und $1$ .

$x^{5}$

Schritt 12

Das kgV von $\frac{1}{10 x^{5}}, \frac{1}{3 x^{4}}, \frac{12}{5 x^{2}}$ ist der numerische Teil $4$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$4 x^{5}$