Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $5$ ist.

$2, 3$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 2

Um $\frac{1}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 3

Um $\frac{1}{x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) (x + 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 2}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 3}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x + 2}{(x + 3) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x + 3) (x + 2)$ um.

$\frac{x + 3}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x + 2}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 3 + x + 2}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 3 + x + 2 + 1}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 7

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{2 x + 3 + 2 + 1}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 8

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 8.1

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{2 x + 5 + 1}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 8.2

Addiere $5$ und $1$ .

$\frac{2 x + 6}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 9

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 6$ heraus.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 6}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 9.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 x + 2 \cdot 3}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2 (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x + 2}$