Algebravorstufe Beispiele

$V = \frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h) = V$ um.

$\frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h) = V$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{1}{\frac{1}{3} π}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{3} π} (\frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h)) = \frac{1}{\frac{1}{3} π} V$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{1}{\frac{1}{3} π} (\frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h))$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $π$ .

$\frac{1}{\frac{π}{3}} (\frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h)) = \frac{1}{\frac{1}{3} π} V$

Schritt 3.1.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{3}{π} (\frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h)) = \frac{1}{\frac{1}{3} π} V$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{π}$ mit $1$ .

$\frac{3}{π} (\frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h)) = \frac{1}{\frac{1}{3} π} V$

Schritt 3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.1.1.4.1

Faktorisiere $π$ aus $\frac{1}{3} \cdot (π r^{2} h)$ heraus.

$\frac{3}{π} (π (\frac{1}{3} \cdot (r^{2} h))) = \frac{1}{\frac{1}{3} π} V$

Schritt 3.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{π} (π (\frac{1}{3} \cdot (r^{2} h))) = \frac{1}{\frac{1}{3} π} V$

Schritt 3.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{1}{3} \cdot (r^{2} h)) = \frac{1}{\frac{1}{3} π} V$

Schritt 3.1.1.5

Kombiniere $r^{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{r^{2}}{3} \cdot h) = \frac{1}{\frac{1}{3} π} V$

Schritt 3.1.1.6

Kombiniere $\frac{r^{2}}{3}$ und $h$ .

$3 \frac{r^{2} h}{3} = \frac{1}{\frac{1}{3} π} V$

Schritt 3.1.1.7

Kombiniere $3$ und $\frac{r^{2} h}{3}$ .

$\frac{3 (r^{2} h)}{3} = \frac{1}{\frac{1}{3} π} V$

Schritt 3.1.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (r^{2} h)}{3} = \frac{1}{\frac{1}{3} π} V$

Schritt 3.1.1.8.2

Dividiere $r^{2} h$ durch $1$ .

$r^{2} h = \frac{1}{\frac{1}{3} π} V$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\frac{1}{\frac{1}{3} π} V$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $π$ .

$r^{2} h = \frac{1}{\frac{π}{3}} V$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r^{2} h = 1 \frac{3}{π} V$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{π}$ mit $1$ .

$r^{2} h = \frac{3}{π} V$

Schritt 3.2.1.4

Kombiniere $\frac{3}{π}$ und $V$ .

$r^{2} h = \frac{3 V}{π}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $r^{2} h = \frac{3 V}{π}$ durch $h$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $r^{2} h = \frac{3 V}{π}$ durch $h$ .

$\frac{r^{2} h}{h} = \frac{\frac{3 V}{π}}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r^{2} h}{h} = \frac{\frac{3 V}{π}}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $r^{2}$ durch $1$ .

$r^{2} = \frac{\frac{3 V}{π}}{h}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r^{2} = \frac{3 V}{π} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{3 V}{π}$ mit $\frac{1}{h}$ .

$r^{2} = \frac{3 V}{π h}$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{\frac{3 V}{π h}}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3 V}{π h}}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3 V}{π h}}$ als $\frac{\sqrt{3 V}}{\sqrt{π h}}$ um.

$r = \pm \frac{\sqrt{3 V}}{\sqrt{π h}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 V}}{\sqrt{π h}}$ mit $\frac{\sqrt{π h}}{\sqrt{π h}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{3 V}}{\sqrt{π h}} \cdot \frac{\sqrt{π h}}{\sqrt{π h}}$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 V}}{\sqrt{π h}}$ mit $\frac{\sqrt{π h}}{\sqrt{π h}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{3 V} \sqrt{π h}}{\sqrt{π h} \sqrt{π h}}$

Schritt 6.3.2

Potenziere $\sqrt{π h}$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{3 V} \sqrt{π h}}{{\sqrt{π h}}^{1} \sqrt{π h}}$

Schritt 6.3.3

Potenziere $\sqrt{π h}$ mit $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{3 V} \sqrt{π h}}{{\sqrt{π h}}^{1} {\sqrt{π h}}^{1}}$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r = \pm \frac{\sqrt{3 V} \sqrt{π h}}{{\sqrt{π h}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{3 V} \sqrt{π h}}{{\sqrt{π h}}^{2}}$

Schritt 6.3.6

Schreibe ${\sqrt{π h}}^{2}$ als $π h$ um.

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Schritt 6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{π h}$ als ${(π h)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \pm \frac{\sqrt{3 V} \sqrt{π h}}{{({(π h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{3 V} \sqrt{π h}}{{(π h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{3 V} \sqrt{π h}}{{(π h)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \pm \frac{\sqrt{3 V} \sqrt{π h}}{{(π h)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \pm \frac{\sqrt{3 V} \sqrt{π h}}{{(π h)}^{1}}$

Schritt 6.3.6.5

Vereinfache.

$r = \pm \frac{\sqrt{3 V} \sqrt{π h}}{π h}$

Schritt 6.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$r = \pm \frac{\sqrt{3 V π h}}{π h}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \frac{\sqrt{3 V π h}}{π h}$

Schritt 7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \frac{\sqrt{3 V π h}}{π h}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \frac{\sqrt{3 V π h}}{π h}$

$r = - \frac{\sqrt{3 V π h}}{π h}$

$r = \frac{\sqrt{3 V π h}}{π h}$

$r = - \frac{\sqrt{3 V π h}}{π h}$