Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x}{x y - y^{2}} + \frac{2 x - y}{x y - x^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $x y - y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{x}{y x - y^{2}} + \frac{2 x - y}{x y - x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{x}{y x + y (- y)} + \frac{2 x - y}{x y - x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y (- y)$ heraus.

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{2 x - y}{x y - x^{2}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $x y - x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{2 x - y}{x (y) - x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{2 x - y}{x (y) + x (- x)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (y) + x (- x)$ heraus.

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{2 x - y}{x (y - x)}$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{2 x - y}{x (- 1 (- y) - x)}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{2 x - y}{x (- 1 (- y) - (x))}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- y) - (x)$ heraus.

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{2 x - y}{x (- 1 (- y + x))}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Bewege ein Minuszeichen des Nenners von $\frac{2 x - y}{x (- 1 (- y + x))}$ zum Zähler.

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{- (2 x - y)}{x (- y + x)}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x}{y (x - y)} + \frac{- (2 x - y)}{x (x - y)}$

Schritt 3

Um $\frac{x}{y (x - y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{y (x - y)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- (2 x - y)}{x (x - y)}$

Schritt 4

Um $\frac{- (2 x - y)}{x (x - y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x}{y (x - y)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- (2 x - y)}{x (x - y)} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (x - y) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{x}{y (x - y)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{y (x - y) x} + \frac{- (2 x - y)}{x (x - y)} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{- (2 x - y)}{x (x - y)}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x \cdot x}{y (x - y) x} + \frac{- (2 x - y) y}{x (x - y) y}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $y (x - y) x$ um.

$\frac{x \cdot x}{x y (x - y)} + \frac{- (2 x - y) y}{x (x - y) y}$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren von $x (x - y) y$ um.

$\frac{x \cdot x}{x y (x - y)} + \frac{- (2 x - y) y}{x y (x - y)}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot x - (2 x - y) y}{x y (x - y)}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - (2 x - y) y}{x y (x - y)}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + (- (2 x) - - y) y}{x y (x - y)}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + (- 2 x - - y) y}{x y (x - y)}$

Schritt 7.4

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + (- 2 x + 1 y) y}{x y (x - y)}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + (- 2 x + y) y}{x y (x - y)}$

Schritt 7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 2 x y + y \cdot y}{x y (x - y)}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{x y (x - y)}$

Schritt 7.7

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.7.1

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Schritt 7.7.2

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}{x y (x - y)}$

Schritt 7.7.3

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x y (x - y)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - y)}^{2}$ und $x - y$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x - y$ aus ${(x - y)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - y) (x - y)}{x y (x - y)}$

Schritt 8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $x - y$ aus $x y (x - y)$ heraus.

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x - y) (x y)}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x - y) (x y)}$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - y}{x y}$