Algebravorstufe Beispiele

$\frac{{(5 + h)}^{3} - 125}{h}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$\frac{{(5 + h)}^{3} - 5^{3}}{h}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 5 + h$ und $b = 5$ .

$\frac{(5 + h - 5) ({(5 + h)}^{2} + (5 + h) \cdot 5 + 5^{2})}{h}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{(h + 0) ({(5 + h)}^{2} + (5 + h) \cdot 5 + 5^{2})}{h}$

Schritt 1.3.2

Addiere $h$ und $0$ .

$\frac{h ({(5 + h)}^{2} + (5 + h) \cdot 5 + 5^{2})}{h}$

Schritt 1.3.3

Schreibe ${(5 + h)}^{2}$ als $(5 + h) (5 + h)$ um.

$\frac{h ((5 + h) (5 + h) + (5 + h) \cdot 5 + 5^{2})}{h}$

Schritt 1.3.4

Multipliziere $(5 + h) (5 + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (5 (5 + h) + h (5 + h) + (5 + h) \cdot 5 + 5^{2})}{h}$

Schritt 1.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (5 \cdot 5 + 5 h + h (5 + h) + (5 + h) \cdot 5 + 5^{2})}{h}$

Schritt 1.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (5 \cdot 5 + 5 h + h \cdot 5 + h \cdot h + (5 + h) \cdot 5 + 5^{2})}{h}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.5.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{h (25 + 5 h + h \cdot 5 + h \cdot h + (5 + h) \cdot 5 + 5^{2})}{h}$

Schritt 1.3.5.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{h (25 + 5 h + 5 \cdot h + h \cdot h + (5 + h) \cdot 5 + 5^{2})}{h}$

Schritt 1.3.5.1.3

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{h (25 + 5 h + 5 h + h^{2} + (5 + h) \cdot 5 + 5^{2})}{h}$

Schritt 1.3.5.2

Addiere $5 h$ und $5 h$ .

$\frac{h (25 + 10 h + h^{2} + (5 + h) \cdot 5 + 5^{2})}{h}$

Schritt 1.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (25 + 10 h + h^{2} + 5 \cdot 5 + h \cdot 5 + 5^{2})}{h}$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{h (25 + 10 h + h^{2} + 25 + h \cdot 5 + 5^{2})}{h}$

Schritt 1.3.8

Bringe $5$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{h (25 + 10 h + h^{2} + 25 + 5 \cdot h + 5^{2})}{h}$

Schritt 1.3.9

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{h (25 + 10 h + h^{2} + 25 + 5 h + 25)}{h}$

Schritt 1.3.10

Addiere $25$ und $25$ .

$\frac{h (10 h + h^{2} + 50 + 5 h + 25)}{h}$

Schritt 1.3.11

Addiere $10 h$ und $5 h$ .

$\frac{h (15 h + h^{2} + 50 + 25)}{h}$

Schritt 1.3.12

Addiere $50$ und $25$ .

$\frac{h (15 h + h^{2} + 75)}{h}$

Schritt 1.3.13

Stelle die Terme um.

$\frac{h (h^{2} + 15 h + 75)}{h}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (h^{2} + 15 h + 75)}{h}$

Schritt 2.2

Dividiere $h^{2} + 15 h + 75$ durch $1$ .

$h^{2} + 15 h + 75$