Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x + 6}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x + 6}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2}{x^{2} - 5 x + 6}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} - 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$

Schritt 2

Um $\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$

Schritt 3

Um $\frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) (x - 2) (x - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x + 6}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 6) (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} + \frac{2}{(x - 3) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{(x - 3) (x - 2)}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 6) (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} + \frac{2 (x + 2)}{(x - 3) (x - 2) (x + 2)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 3) (x - 2) (x + 2)$ um.

$\frac{(x + 6) (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} + \frac{2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 6) (x - 3) + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x + 6) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 3) + 6 (x - 3) + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 6 (x - 3) + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 6.2.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x + 6 x + 6 \cdot - 3 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 6 x - 18 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 3 x$ und $6 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 18 + 2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 x - 18 + 2 x + 2 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 18 + 2 x + 4}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 6.5

Addiere $3 x$ und $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x - 18 + 4}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 6.6

Addiere $- 18$ und $4$ .

$\frac{x^{2} + 5 x - 14}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $x^{2} + 5 x - 14$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 14$ und deren Summe $5$ ist.

$- 2, 7$

Schritt 6.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 7}{(x + 2) (x - 3)}$