Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} < \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16} < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 4^{2}} < 0$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{x + 1}{x - 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.3

Um $\frac{x - 2}{x + 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 4) (x + 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{x - 4}$ mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{x - 2}{x + 4}$ mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 4) (x + 4)$ um.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1

Multipliziere $(x + 1) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x + 4) + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.2.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.2.2

Addiere $4 x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.3

Multipliziere $(x - 2) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.7.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x (x - 4) - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.7.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.4.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 x - 2 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.4.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.6

Vereinfache.

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Schritt 2.7.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.7.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.8

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.9

Addiere $2 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.10

Subtrahiere $6 x$ von $5 x$ .

$\frac{4 x^{2} - x + 4 + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.11

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 4 + 8 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.12

Addiere $4$ und $8$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 12 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.13

Subtrahiere $32$ von $12$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.14.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} - 2 x - 20$ heraus.

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Schritt 2.14.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2}) - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.14.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.14.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 20$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.14.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.14.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.14.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.14.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 2.14.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2} - (x) - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.14.2.1.2

Schreibe $- 1$ um als $4$ plus $- 5$

$\frac{2 (2 x^{2} + (4 - 5) x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.14.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.14.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.14.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 4 x) - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.14.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (2 x (x + 2) - 5 (x + 2))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 2.14.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$\frac{2 ((x + 2) (2 x - 5))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

$\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 7

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 8

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 9

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 2$

$x = \frac{5}{2}$

$x = - 4$

$x = 4$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ .

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Schritt 11.1

Setze den Nenner in $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 11.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 11.2.2

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.2.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 11.2.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 11.2.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 11.2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, 4$

Schritt 11.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 12

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

Schritt 13

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 13.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 13.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) + 1}{(- 6) - 4} + \frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} < \frac{- 2 {(- 6)}^{2} - 6 + 32}{{(- 6)}^{2} - 16}$

Schritt 13.1.3

Die linke Seite $4.5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 2.3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 13.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 13.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 3) + 1}{(- 3) - 4} + \frac{(- 3) - 2}{(- 3) + 4} < \frac{- 2 {(- 3)}^{2} - 3 + 32}{{(- 3)}^{2} - 16}$

Schritt 13.2.3

Die linke Seite $- 4.\overline{714285}$ ist kleiner als die rechte Seite $- 1.\overline{571428}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 13.3

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 13.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 1}{(0) - 4} + \frac{(0) - 2}{(0) + 4} < \frac{- 2 {(0)}^{2} + 0 + 32}{{(0)}^{2} - 16}$

Schritt 13.3.3

Die linke Seite $- 0.75$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 13.4

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5}{2} < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5}{2} < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 13.4.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(3) + 1}{(3) - 4} + \frac{(3) - 2}{(3) + 4} < \frac{- 2 {(3)}^{2} + 3 + 32}{{(3)}^{2} - 16}$

Schritt 13.4.3

Die linke Seite $- 3.\overline{857142}$ ist kleiner als die rechte Seite $- 2.\overline{428571}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 13.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 13.5.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(6) + 1}{(6) - 4} + \frac{(6) - 2}{(6) + 4} < \frac{- 2 {(6)}^{2} + 6 + 32}{{(6)}^{2} - 16}$

Schritt 13.5.3

Die linke Seite $3.9$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 1.7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 13.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ Falsch

$\frac{5}{2} < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ Falsch

$\frac{5}{2} < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 14

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 < x < - 2$ oder $\frac{5}{2} < x < 4$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 4 < x < - 2 or \frac{5}{2} < x < 4$

Intervallschreibweise:

$(- 4, - 2) \cup (\frac{5}{2}, 4)$

Schritt 16