Algebravorstufe Beispiele

$\frac{5 x - 20}{3 x^{2} + x} \cdot \frac{3 x^{2} + 13 x + 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 1

Faktorisiere $5$ aus $5 x - 20$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{5 (x) - 20}{3 x^{2} + x} \cdot \frac{3 x^{2} + 13 x + 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 20$ heraus.

$\frac{5 x + 5 \cdot - 4}{3 x^{2} + x} \cdot \frac{3 x^{2} + 13 x + 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 x + 5 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{5 (x - 4)}{3 x^{2} + x} \cdot \frac{3 x^{2} + 13 x + 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{5 (x - 4)}{x (3 x) + x} \cdot \frac{3 x^{2} + 13 x + 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5 (x - 4)}{x (3 x) + x^{1}} \cdot \frac{3 x^{2} + 13 x + 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{5 (x - 4)}{x (3 x) + x \cdot 1} \cdot \frac{3 x^{2} + 13 x + 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{5 (x - 4)}{x (3 x + 1)} \cdot \frac{3 x^{2} + 13 x + 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $13$ aus $13 x$ heraus.

$\frac{5 (x - 4)}{x (3 x + 1)} \cdot \frac{3 x^{2} + 13 (x) + 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $13$ um als $1$ plus $12$

$\frac{5 (x - 4)}{x (3 x + 1)} \cdot \frac{3 x^{2} + (1 + 12) x + 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (x - 4)}{x (3 x + 1)} \cdot \frac{3 x^{2} + 1 x + 12 x + 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5 (x - 4)}{x (3 x + 1)} \cdot \frac{3 x^{2} + x + 12 x + 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{5 (x - 4)}{x (3 x + 1)} \cdot \frac{(3 x^{2} + x) + 12 x + 4}{x^{2} - 16}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{5 (x - 4)}{x (3 x + 1)} \cdot \frac{x (3 x + 1) + 4 (3 x + 1)}{x^{2} - 16}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 1$ .

$\frac{5 (x - 4)}{x (3 x + 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x + 4)}{x^{2} - 16}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{5 (x - 4)}{x (3 x + 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x + 4)}{x^{2} - 4^{2}}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{5 (x - 4)}{x (3 x + 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x - 4$ aus $5 (x - 4)$ heraus.

$\frac{(x - 4) \cdot 5}{x (3 x + 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x - 4$ aus $(x + 4) (x - 4)$ heraus.

$\frac{(x - 4) \cdot 5}{x (3 x + 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)}$

Schritt 5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 4) \cdot 5}{x (3 x + 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)}$

Schritt 5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{x (3 x + 1)} \cdot \frac{(3 x + 1) (x + 4)}{x + 4}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + 1$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3 x + 1$ aus $x (3 x + 1)$ heraus.

$\frac{5}{(3 x + 1) x} \cdot \frac{(3 x + 1) (x + 4)}{x + 4}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{(3 x + 1) x} \cdot \frac{(3 x + 1) (x + 4)}{x + 4}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{x} \cdot \frac{x + 4}{x + 4}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{5}{x}$ mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{5 (x + 4)}{x (x + 4)}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (x + 4)}{x (x + 4)}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{x}$