Algebravorstufe Beispiele

\frac{x + 1}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}

$\frac{x + 1}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

\frac{x + 1}{x^{2} + 6 x + 3^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}

$\frac{x + 1}{x^{2} + 6 x + 3^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

6 x = 2 \cdot x \cdot 3

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

\frac{x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}

$\frac{x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei

a = x

$a = x$ und

b = 3

$b = 3$ .

\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}$

\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 3^{2}}

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

a = x

$a = x$ und

b = 3

$b = 3$ .

\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}$

\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}$

\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2

\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}}

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{x - 3}{x - 3}

$\frac{x - 3}{x - 3}$ .

\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3

\frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}

$\frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{x + 3}{x + 3}

$\frac{x + 3}{x + 3}$ .

\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von

(x - 3) {(x + 3)}^{2}

$(x - 3) {(x + 3)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von

1

$1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere

\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}}

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}}$ mit

\frac{x - 3}{x - 3}

$\frac{x - 3}{x - 3}$ .

\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere

\frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}

$\frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}$ mit

\frac{x + 3}{x + 3}

$\frac{x + 3}{x + 3}$ .

\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3) (x + 3)}

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3) (x + 3)}$

Schritt 4.3

Potenziere

x + 3

$x + 3$ mit

1

$1$ .

\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} (x + 3) (x - 3)}

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 4.4

Potenziere

x + 3

$x + 3$ mit

1

$1$ .

\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1} (x - 3)}

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1} (x - 3)}$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3)}

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3)}$

Schritt 4.6

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{(x + 1) (x - 3) + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}

$\frac{(x + 1) (x - 3) + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere

(x + 1) (x - 3)

$(x + 1) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{x (x - 3) + 1 (x - 3) + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}

$\frac{x (x - 3) + 1 (x - 3) + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3) + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3) + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.2.1.2

Bringe

$- 3$ auf die linke Seite von

$x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere

$x$ mit

$1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + x - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.2.2

Addiere

$- 3 x$ und

$x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.3

Multipliziere

$(x - 4) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x (x + 3) - 4 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 4 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x^{2} + x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.4.1.2

Bringe

$3$ auf die linke Seite von

$x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x^{2} + 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.4.1.3

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x^{2} + 3 x - 4 x - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere

$4 x$ von

$3 x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x^{2} - x - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.5

Addiere

$x^{2}$ und

$x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 3 - x - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.6

Subtrahiere

$x$ von

$- 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 3 - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.7

Subtrahiere

$12$ von

$- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 15}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$