Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x + 1}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x + 1}{x^{2} + 6 x + 3^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2

Um $\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3

Um $\frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 3) {(x + 3)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{{(x + 3)}^{2}}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{x - 4}{(x + 3) (x - 3)}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3) (x + 3)}$

Schritt 4.3

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 4.4

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1} (x - 3)}$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3)}$

Schritt 4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)} + \frac{(x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 1) (x - 3) + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 3) + 1 (x - 3) + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3) + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.2.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + x - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 3 x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + (x - 4) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.3

Multipliziere $(x - 4) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x (x + 3) - 4 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 4 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x^{2} + x \cdot 3 - 4 x - 4 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.4.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x^{2} + 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.4.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x^{2} + 3 x - 4 x - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $4 x$ von $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 3 + x^{2} - x - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.5

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 3 - x - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.6

Subtrahiere $x$ von $- 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 3 - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.7

Subtrahiere $12$ von $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 15}{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}$