Algebravorstufe Beispiele

$5 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 3 = 15$ und deren Summe gleich $b = - 8$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 x$ heraus.

$5 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- 8$ um als $- 3$ plus $- 5$

$5 x^{2} + (- 3 - 5) x + 3 = 0$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} - 3 x - 5 x + 3 = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 x^{2} - 3 x) - 5 x + 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (5 x - 3) - (5 x - 3) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 3$ .

$(5 x - 3) (x - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $5 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $5 x - 3$ gleich $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $5 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 3$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 3$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 3$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Schritt 4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x - 3) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{5}, 1$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3}{5}, 1$

Dezimalform:

$x = 0.6, 1$