Algebravorstufe Beispiele

$\sqrt{3 x + 7} - \sqrt{2 x - 3} = 2$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{2 x - 3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 x + 7} = 2 + \sqrt{2 x - 3}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 x + 7}}^{2} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x + 7}$ als ${(3 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(3 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x + 7)}^{1} = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$3 x + 7 = {(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(2 + \sqrt{2 x - 3})}^{2}$ als $(2 + \sqrt{2 x - 3}) (2 + \sqrt{2 x - 3})$ um.

$3 x + 7 = (2 + \sqrt{2 x - 3}) (2 + \sqrt{2 x - 3})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(2 + \sqrt{2 x - 3}) (2 + \sqrt{2 x - 3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 7 = 2 (2 + \sqrt{2 x - 3}) + \sqrt{2 x - 3} (2 + \sqrt{2 x - 3})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 7 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} (2 + \sqrt{2 x - 3})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 7 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + \sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \cdot 2 + \sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2 x - 3}$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \cdot \sqrt{2 x - 3} + \sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{2 x - 3} \sqrt{2 x - 3}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{2 x - 3}$ mit $1$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {\sqrt{2 x - 3}}^{1} \sqrt{2 x - 3}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2 x - 3}$ mit $1$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {\sqrt{2 x - 3}}^{1} {\sqrt{2 x - 3}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {\sqrt{2 x - 3}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {\sqrt{2 x - 3}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{2 x - 3}}^{2}$ als $2 x - 3$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x - 3}$ als ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {(2 x - 3)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {(2 x - 3)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + {(2 x - 3)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Vereinfache.

$3 x + 7 = 4 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 x - 3$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$3 x + 7 = 1 + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 \sqrt{2 x - 3} + 2 x$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $2 \sqrt{2 x - 3}$ und $2 \sqrt{2 x - 3}$ .

$3 x + 7 = 1 + 4 \sqrt{2 x - 3} + 2 x$

Schritt 4

Löse nach $4 \sqrt{2 x - 3}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + 4 \sqrt{2 x - 3} + 2 x = 3 x + 7$ um.

$1 + 4 \sqrt{2 x - 3} + 2 x = 3 x + 7$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $4 \sqrt{2 x - 3}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sqrt{2 x - 3} + 2 x = 3 x + 7 - 1$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sqrt{2 x - 3} = 3 x + 7 - 1 - 2 x$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$4 \sqrt{2 x - 3} = x + 7 - 1$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $1$ von $7$ .

$4 \sqrt{2 x - 3} = x + 6$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(4 \sqrt{2 x - 3})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x - 3}$ als ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(4 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(4 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $4 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$4^{2} {({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$16 {({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 6)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 6)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 6)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 {(2 x - 3)}^{1} = {(x + 6)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$16 (2 x - 3) = {(x + 6)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$16 (2 x) + 16 \cdot - 3 = {(x + 6)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$32 x + 16 \cdot - 3 = {(x + 6)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 3$ .

$32 x - 48 = {(x + 6)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(x + 6)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(x + 6)}^{2}$ als $(x + 6) (x + 6)$ um.

$32 x - 48 = (x + 6) (x + 6)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(x + 6) (x + 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$32 x - 48 = x (x + 6) + 6 (x + 6)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$32 x - 48 = x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$32 x - 48 = x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$32 x - 48 = x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$32 x - 48 = x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$32 x - 48 = x^{2} + 6 x + 6 x + 36$

Schritt 6.3.1.3.2

Addiere $6 x$ und $6 x$ .

$32 x - 48 = x^{2} + 12 x + 36$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 12 x + 36 = 32 x - 48$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $32 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 12 x + 36 - 32 x = - 48$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $32 x$ von $12 x$ .

$x^{2} - 20 x + 36 = - 48$

Schritt 7.3

Addiere $48$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 20 x + 36 + 48 = 0$

Schritt 7.4

Addiere $36$ und $48$ .

$x^{2} - 20 x + 84 = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $x^{2} - 20 x + 84$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $84$ und deren Summe $- 20$ ist.

$- 14, - 6$

Schritt 7.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 14) (x - 6) = 0$

Schritt 7.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 14 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 7.7

Setze $x - 14$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.7.1

Setze $x - 14$ gleich $0$ .

$x - 14 = 0$

Schritt 7.7.2

Addiere $14$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 14$

Schritt 7.8

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.8.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 7.8.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 7.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 14) (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 14, 6$