Algebravorstufe Beispiele

$\sqrt{x - 13} = 13 - \sqrt{x}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x - 13}}^{2} = {(13 - \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 13}$ als ${(x - 13)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(13 - \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x - 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 13)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(13 - \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 13)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(13 - \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 13)}^{1} = {(13 - \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x - 13 = {(13 - \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(13 - \sqrt{x})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(13 - \sqrt{x})}^{2}$ als $(13 - \sqrt{x}) (13 - \sqrt{x})$ um.

$x - 13 = (13 - \sqrt{x}) (13 - \sqrt{x})$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(13 - \sqrt{x}) (13 - \sqrt{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 13 = 13 (13 - \sqrt{x}) - \sqrt{x} (13 - \sqrt{x})$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 13 = 13 \cdot 13 + 13 (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (13 - \sqrt{x})$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 13 = 13 \cdot 13 + 13 (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \cdot 13 - \sqrt{x} (- \sqrt{x})$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $13$ mit $13$ .

$x - 13 = 169 + 13 (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \cdot 13 - \sqrt{x} (- \sqrt{x})$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $13$ .

$x - 13 = 169 - 13 \sqrt{x} - \sqrt{x} \cdot 13 - \sqrt{x} (- \sqrt{x})$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $13$ mit $- 1$ .

$x - 13 = 169 - 13 \sqrt{x} - 13 \sqrt{x} - \sqrt{x} (- \sqrt{x})$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{x} (- \sqrt{x})$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x - 13 = 169 - 13 \sqrt{x} - 13 \sqrt{x} + 1 \sqrt{x} \sqrt{x}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$x - 13 = 169 - 13 \sqrt{x} - 13 \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$x - 13 = 169 - 13 \sqrt{x} - 13 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$x - 13 = 169 - 13 \sqrt{x} - 13 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x - 13 = 169 - 13 \sqrt{x} - 13 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x - 13 = 169 - 13 \sqrt{x} - 13 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x - 13 = 169 - 13 \sqrt{x} - 13 \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 13 = 169 - 13 \sqrt{x} - 13 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x - 13 = 169 - 13 \sqrt{x} - 13 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 13 = 169 - 13 \sqrt{x} - 13 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 13 = 169 - 13 \sqrt{x} - 13 \sqrt{x} + x^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$x - 13 = 169 - 13 \sqrt{x} - 13 \sqrt{x} + x$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $13 \sqrt{x}$ von $- 13 \sqrt{x}$ .

$x - 13 = 169 - 26 \sqrt{x} + x$

Schritt 3

Löse nach $- 26 \sqrt{x}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $169 - 26 \sqrt{x} + x = x - 13$ um.

$169 - 26 \sqrt{x} + x = x - 13$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 26 \sqrt{x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $169$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 26 \sqrt{x} + x = x - 13 - 169$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 26 \sqrt{x} = x - 13 - 169 - x$

Schritt 3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 13 - 169 - x$ .

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$- 26 \sqrt{x} = 0 - 13 - 169$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $13$ von $0$ .

$- 26 \sqrt{x} = - 13 - 169$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $169$ von $- 13$ .

$- 26 \sqrt{x} = - 182$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 26 \sqrt{x})}^{2} = {(- 182)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 26 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 182)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(- 26 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 26 x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 26)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 182)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $- 26$ mit $2$ .

$676 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 182)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$676 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 182)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$676 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 182)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$676 x^{1} = {(- 182)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

$676 x = {(- 182)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $- 182$ mit $2$ .

$676 x = 33124$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $676 x = 33124$ durch $676$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $676 x = 33124$ durch $676$ .

$\frac{676 x}{676} = \frac{33124}{676}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $676$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{676 x}{676} = \frac{33124}{676}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{33124}{676}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividiere $33124$ durch $676$ .

$x = 49$