Algebravorstufe Beispiele

$\frac{k + 5}{k + 1} + \frac{8}{k^{2} - 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{k + 5}{k + 1} + \frac{8}{k^{2} - 1^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = k$ und $b = 1$ .

$\frac{k + 5}{k + 1} + \frac{8}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 2

Um $\frac{k + 5}{k + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{k - 1}{k - 1}$ .

$\frac{k + 5}{k + 1} \cdot \frac{k - 1}{k - 1} + \frac{8}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{k + 5}{k + 1}$ mit $\frac{k - 1}{k - 1}$ .

$\frac{(k + 5) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)} + \frac{8}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(k + 5) (k - 1) + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(k + 5) (k - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{k (k - 1) + 5 (k - 1) + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{k \cdot k + k \cdot - 1 + 5 (k - 1) + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{k \cdot k + k \cdot - 1 + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$\frac{k^{2} + k \cdot - 1 + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 4.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $k$ .

$\frac{k^{2} - 1 \cdot k + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe $- 1 k$ als $- k$ um.

$\frac{k^{2} - k + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{k^{2} - k + 5 k - 5 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 4.2.2

Addiere $- k$ und $5 k$ .

$\frac{k^{2} + 4 k - 5 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 4.3

Addiere $- 5$ und $8$ .

$\frac{k^{2} + 4 k + 3}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $k^{2} + 4 k + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $4$ ist.

$1, 3$

Schritt 4.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(k + 1) (k + 3)}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k + 1$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(k + 1) (k + 3)}{(k + 1) (k - 1)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{k + 3}{k - 1}$