Algebravorstufe Beispiele

$14 x^{2} + 3 x - 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 14 \cdot - 2 = - 28$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$14 x^{2} + 3 (x) - 2 = 0$

Schritt 1.1.2

Schreibe $3$ um als $- 4$ plus $7$

$14 x^{2} + (- 4 + 7) x - 2 = 0$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$14 x^{2} - 4 x + 7 x - 2 = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(14 x^{2} - 4 x) + 7 x - 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (7 x - 2) + 1 (7 x - 2) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 x - 2$ .

$(7 x - 2) (2 x + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 x - 2 = 0$

$2 x + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $7 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $7 x - 2$ gleich $0$ .

$7 x - 2 = 0$

Schritt 3.2

Löse $7 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = 2$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 2$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 2$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{2}{7}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{2}{7}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{7}$

Schritt 4

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7 x - 2) (2 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{7}, - \frac{1}{2}$