Algebravorstufe Beispiele

$\frac{3 x - 2}{x} - 4 > 0$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{3 x - 2}{x} - 4$ .

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Schritt 1.1

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x - 2}{x} - 4 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Schritt 1.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x - 2}{x} + \frac{- 4 x}{x} > 0$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x - 2 - 4 x}{x} > 0$

Schritt 1.4

Subtrahiere $4 x$ von $3 x$ .

$\frac{- x - 2}{x} > 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - 2}{x} > 0$

Schritt 1.6

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (2)}{x} > 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- (x + 2)}{x} > 0$

Schritt 1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.8.1

Schreibe $- (x + 2)$ als $- 1 (x + 2)$ um.

$\frac{- 1 (x + 2)}{x} > 0$

Schritt 1.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 2}{x} > 0$

Schritt 2

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 2$

Schritt 5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 2$

Schritt 6

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 x - 2}{x} - 4$ .

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{3 x - 2}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 6.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 4) - 2}{- 4} - 4 > 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $- 0.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 1) - 2}{- 1} - 4 > 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (2) - 2}{2} - 4 > 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $- 2$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 < x < 0$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 2 < x < 0$

Intervallschreibweise:

$(- 2, 0)$

Schritt 11