Algebravorstufe Beispiele

$\frac{3 x - 5}{x^{2} + 3 x + 2} + \frac{x}{x + 2}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $3$ ist.

$1, 2$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3 x - 5}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{x}{x + 2}$

Schritt 2

Um $\frac{x}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3 x - 5}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) (x + 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 2}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3 x - 5}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{x (x + 1)}{(x + 2) (x + 1)}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $(x + 2) (x + 1)$ um.

$\frac{3 x - 5}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x - 5 + x (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x - 5 + x \cdot x + x \cdot 1}{(x + 1) (x + 2)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x - 5 + x^{2} + x \cdot 1}{(x + 1) (x + 2)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x - 5 + x^{2} + x}{(x + 1) (x + 2)}$

Schritt 5.4

Addiere $3 x$ und $x$ .

$\frac{4 x - 5 + x^{2}}{(x + 1) (x + 2)}$

Schritt 5.5

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} + 4 x - 5}{(x + 1) (x + 2)}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $4$ ist.

$- 1, 5$

Schritt 5.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{(x + 1) (x + 2)}$