Algebravorstufe Beispiele

$\frac{21 x^{2} + x - 2}{3 x - 3} \div \frac{49 x^{2} - 4}{x - 1}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{21 x^{2} + x - 2}{3 x - 3} \cdot \frac{x - 1}{49 x^{2} - 4}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 21 \cdot - 2 = - 42$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{21 x^{2} + 1 x - 2}{3 x - 3} \cdot \frac{x - 1}{49 x^{2} - 4}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $1$ um als $- 6$ plus $7$

$\frac{21 x^{2} + (- 6 + 7) x - 2}{3 x - 3} \cdot \frac{x - 1}{49 x^{2} - 4}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{21 x^{2} - 6 x + 7 x - 2}{3 x - 3} \cdot \frac{x - 1}{49 x^{2} - 4}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(21 x^{2} - 6 x) + 7 x - 2}{3 x - 3} \cdot \frac{x - 1}{49 x^{2} - 4}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 x (7 x - 2) + 1 (7 x - 2)}{3 x - 3} \cdot \frac{x - 1}{49 x^{2} - 4}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 x - 2$ .

$\frac{(7 x - 2) (3 x + 1)}{3 x - 3} \cdot \frac{x - 1}{49 x^{2} - 4}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 3$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{(7 x - 2) (3 x + 1)}{3 (x) - 3} \cdot \frac{x - 1}{49 x^{2} - 4}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{(7 x - 2) (3 x + 1)}{3 (x) + 3 (- 1)} \cdot \frac{x - 1}{49 x^{2} - 4}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (- 1)$ heraus.

$\frac{(7 x - 2) (3 x + 1)}{3 (x - 1)} \cdot \frac{x - 1}{49 x^{2} - 4}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $3 (x - 1)$ heraus.

$\frac{(7 x - 2) (3 x + 1)}{(x - 1) \cdot 3} \cdot \frac{x - 1}{49 x^{2} - 4}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(7 x - 2) (3 x + 1)}{(x - 1) \cdot 3} \cdot \frac{x - 1}{49 x^{2} - 4}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(7 x - 2) (3 x + 1)}{3} \cdot \frac{1}{49 x^{2} - 4}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{(7 x - 2) (3 x + 1)}{3}$ mit $\frac{1}{49 x^{2} - 4}$ .

$\frac{(7 x - 2) (3 x + 1)}{3 (49 x^{2} - 4)}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $49 x^{2}$ als ${(7 x)}^{2}$ um.

$\frac{(7 x - 2) (3 x + 1)}{3 ({(7 x)}^{2} - 4)}$

Schritt 4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(7 x - 2) (3 x + 1)}{3 ({(7 x)}^{2} - 2^{2})}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 7 x$ und $b = 2$ .

$\frac{(7 x - 2) (3 x + 1)}{3 (7 x + 2) (7 x - 2)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 x - 2$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(7 x - 2) (3 x + 1)}{3 (7 x + 2) (7 x - 2)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x + 1}{3 (7 x + 2)}$