Algebravorstufe Beispiele

x^{2} - 3 x y - 4 y^{2}

$x^{2} - 3 x y - 4 y^{2}$

Schritt 1

Für ein Polynom der Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich

a \cdot c = 1 \cdot - 4 = - 4

$a \cdot c = 1 \cdot - 4 = - 4$ und deren Summe gleich

b = - 3

$b = - 3$ ist.

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Schritt 1.1

Stelle die Terme um.

x^{2} - 4 y^{2} - 3 x y

$x^{2} - 4 y^{2} - 3 x y$

Schritt 1.2

Stelle

- 4 y^{2}

$- 4 y^{2}$ und

- 3 x y

$- 3 x y$ um.

x^{2} - 3 x y - 4 y^{2}

$x^{2} - 3 x y - 4 y^{2}$

Schritt 1.3

Faktorisiere

- 3

$- 3$ aus

- 3 x y

$- 3 x y$ heraus.

x^{2} - 3 (x y) - 4 y^{2}

$x^{2} - 3 (x y) - 4 y^{2}$

Schritt 1.4

Schreibe

- 3

$- 3$ um als

1

$1$ plus

- 4

$- 4$

x^{2} + (1 - 4) (x y) - 4 y^{2}

$x^{2} + (1 - 4) (x y) - 4 y^{2}$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

x^{2} + 1 (x y) - 4 (x y) - 4 y^{2}

$x^{2} + 1 (x y) - 4 (x y) - 4 y^{2}$

Schritt 1.6

Mutltipliziere

x y

$x y$ mit

1

$1$ .

x^{2} + x y - 4 (x y) - 4 y^{2}

$x^{2} + x y - 4 (x y) - 4 y^{2}$

Schritt 1.7

Entferne unnötige Klammern.

x^{2} + x y - 4 x y - 4 y^{2}

$x^{2} + x y - 4 x y - 4 y^{2}$

x^{2} + x y - 4 x y - 4 y^{2}

$x^{2} + x y - 4 x y - 4 y^{2}$

Schritt 2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

(x^{2} + x y) - 4 x y - 4 y^{2}

$(x^{2} + x y) - 4 x y - 4 y^{2}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

x (x + y) - 4 y (x + y)

$x (x + y) - 4 y (x + y)$

x (x + y) - 4 y (x + y)

$x (x + y) - 4 y (x + y)$

Schritt 3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

x + y

$x + y$ .

(x + y) (x - 4 y)

$(x + y) (x - 4 y)$