Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x + 8}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x + 8}{x^{2} - 4 x + 2^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x + 8}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 2

Um $\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 3

Um $\frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) {(x - 2)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x + 8}{{(x - 2)}^{2}}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{3 x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 2)}$

Schritt 4.3

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}$

Schritt 4.4

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{(x + 2) {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.7

Stelle die Faktoren von $(x + 2) {(x - 2)}^{2}$ um.

$\frac{(x + 8) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)} + \frac{(3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 8) (x + 2) + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(x + 8) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x + 2) + 8 (x + 2) + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 8 (x + 2) + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x + 8 x + 8 \cdot 2 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 8 x + 16 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $2 x$ und $8 x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + (3 x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.3

Multipliziere $(3 x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x (x - 2) - 2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} - 6 x - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} - 6 x - 2 x + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 6 x$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 16 + 3 x^{2} - 8 x + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.5

Addiere $x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 10 x + 16 - 8 x + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.6

Subtrahiere $8 x$ von $10 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 16 + 4}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.7

Addiere $16$ und $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 20}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.8

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} + 2 x + 20$ heraus.

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Schritt 6.8.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 x + 20}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.8.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (x) + 20}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.8.3

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 10}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.8.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2}) + 2 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2} + x) + 2 \cdot 10}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Schritt 6.8.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2} + x) + 2 \cdot 10$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{2} + x + 10)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$