Algebravorstufe Beispiele

$\frac{- 3}{x^{2} - 2 x - 8} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{- 3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

Schritt 1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 16}$

Schritt 1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{x^{2} - 4^{2}}$

Schritt 1.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 2

Um $- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 3

Um $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$- \frac{3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 4) (x + 2) (x + 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{(x - 4) (x + 2)}$ mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$- \frac{3 (x + 4)}{(x - 4) (x + 2) (x + 4)} + \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$- \frac{3 (x + 4)}{(x - 4) (x + 2) (x + 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 4) (x - 4) (x + 2)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 4) (x + 2) (x + 4)$ um.

$- \frac{3 (x + 4)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 4) (x - 4) (x + 2)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(x + 4) (x - 4) (x + 2)$ um.

$- \frac{3 (x + 4)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)} + \frac{x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 (x + 4) + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x - 3 \cdot 4 + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{- 3 x - 12 + x (x + 2)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x - 12 + x \cdot x + x \cdot 2}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 3 x - 12 + x^{2} + x \cdot 2}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 3 x - 12 + x^{2} + 2 \cdot x}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.6

Addiere $- 3 x$ und $2 x$ .

$\frac{- x - 12 + x^{2}}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.7

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} - x - 12}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 6.8

Faktorisiere $x^{2} - x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.8.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 6.8.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 3}{(x + 2) (x + 4)}$