Algebravorstufe Beispiele

x^{2} - 2 x - 1 = 0

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 2

$b = - 2$ und

c = - 1

$c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach

x

$x$ auf.

\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Potenziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 1

$- 1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3

Addiere

4

$4$ und

4

$4$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4

Schreibe

8

$8$ als

2^{2} \cdot 2

$2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

8

$8$ heraus.

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache

\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

x = 1 \pm \sqrt{2}

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

x = 1 \pm \sqrt{2}

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

+

$+$ -Teil von

\pm

$\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Potenziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 1

$- 1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Addiere

4

$4$ und

4

$4$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Schreibe

8

$8$ als

2^{2} \cdot 2

$2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

8

$8$ heraus.

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache

\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

x = 1 \pm \sqrt{2}

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 4.4

Ändere das

\pm

$\pm$ zu

+

$+$ .

x = 1 + \sqrt{2}

$x = 1 + \sqrt{2}$

x = 1 + \sqrt{2}

$x = 1 + \sqrt{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

-

$-$ -Teil von

\pm

$\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Potenziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 1

$- 1$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Addiere

4

$4$ und

4

$4$ .

x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe

8

$8$ als

2^{2} \cdot 2

$2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

8

$8$ heraus.

x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache

\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

x = 1 \pm \sqrt{2}

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 5.4

Ändere das

\pm

$\pm$ zu

-

$-$ .

x = 1 - \sqrt{2}

$x = 1 - \sqrt{2}$

x = 1 - \sqrt{2}

$x = 1 - \sqrt{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Dezimalform:

x = 2.41421356 \dots, - 0.41421356 \dots

$x = 2.41421356 \dots, - 0.41421356 \dots$