Algebravorstufe Beispiele

$\frac{2 x - 1}{2 x^{2} + 5 x + 3} + \frac{2}{3 x + 3}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{2} + 5 (x) + 3} + \frac{2}{3 x + 3}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $5$ um als $2$ plus $3$

$\frac{2 x - 1}{2 x^{2} + (2 + 3) x + 3} + \frac{2}{3 x + 3}$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{2} + 2 x + 3 x + 3} + \frac{2}{3 x + 3}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 x - 1}{(2 x^{2} + 2 x) + 3 x + 3} + \frac{2}{3 x + 3}$

Schritt 1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x - 1}{2 x (x + 1) + 3 (x + 1)} + \frac{2}{3 x + 3}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)} + \frac{2}{3 x + 3}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)} + \frac{2}{3 (x) + 3}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)} + \frac{2}{3 (x) + 3 (1)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (1)$ heraus.

$\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)} + \frac{2}{3 (x + 1)}$

Schritt 2

Um $\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3 (x + 1)}$

Schritt 3

Um $\frac{2}{3 (x + 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3 (x + 1)} \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) (2 x + 3) \cdot 3$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2 x - 1}{(x + 1) (2 x + 3)}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3}{(x + 1) (2 x + 3) \cdot 3} + \frac{2}{3 (x + 1)} \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3 (x + 1)}$ mit $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3}{(x + 1) (2 x + 3) \cdot 3} + \frac{2 (2 x + 3)}{3 (x + 1) (2 x + 3)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x + 1) (2 x + 3) \cdot 3$ um.

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3}{3 (2 x + 3) (x + 1)} + \frac{2 (2 x + 3)}{3 (x + 1) (2 x + 3)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $3 (x + 1) (2 x + 3)$ um.

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3}{3 (2 x + 3) (x + 1)} + \frac{2 (2 x + 3)}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3 + 2 (2 x + 3)}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot 3 - 1 \cdot 3 + 2 (2 x + 3)}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x - 1 \cdot 3 + 2 (2 x + 3)}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{6 x - 3 + 2 (2 x + 3)}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot 3}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{6 x - 3 + 4 x + 2 \cdot 3}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x - 3 + 4 x + 6}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Schritt 6.7

Addiere $6 x$ und $4 x$ .

$\frac{10 x - 3 + 6}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$

Schritt 6.8

Addiere $- 3$ und $6$ .

$\frac{10 x + 3}{3 (2 x + 3) (x + 1)}$