Lineare Algebra Beispiele

$y = m x + b$ , $- 1 = m x + 2$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $m x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - m x = b, - 1 = m x + 2$

Schritt 1.2

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - m x - b = 0, - 1 = m x + 2$

Schritt 2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y - m x - b = 0, 0 = m x + 2 + 1$

Schritt 3

Subtrahiere $m x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - m x - b = 0, - m x = 2 + 1$

Schritt 4

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.#

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 x & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 x & 0 & 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 5

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 5.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$[\begin{array}{c} - 1 & - x & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 x & 0 & 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 5.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$[\begin{array}{c} - 1 & - x & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - x & 0 & 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - x & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - x & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 5.4

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $- 1$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $- 1$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - x & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & - x & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 5.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & x & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - x & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 5.5

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{x}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 5.5.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{x}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & x & 0 & - 1 & 0 \\ - \frac{1}{x} \cdot 0 & - \frac{1}{x} (- x) & - \frac{1}{x} \cdot 0 & - \frac{1}{x} \cdot 0 & - \frac{1}{x} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 5.5.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & x & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{x} \end{array}]$

Schritt 5.6

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - x R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 5.6.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - x R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - x \cdot 0 & x - x \cdot 1 & 0 - x \cdot 0 & - 1 - x \cdot 0 & 0 - x (- \frac{3}{x}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{x} \end{array}]$

Schritt 5.6.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{x} \end{array}]$

Schritt 6

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$b - y = 3$

$m = - \frac{3}{x}$

Schritt 7

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b = 3 + y$

$m = - \frac{3}{x}$

Schritt 8

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(3 + y, - \frac{3}{x}, x, y)$

Schritt 9

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} b \\ m \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 + y \\ - \frac{3}{x} \\ x \\ y \end{array}]$