Lineare Algebra Beispiele

$8 x - 3 y = 5 x y$ , $6 x - 5 y = - 2 x y$

Schritt 1

Subtrahiere $5 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x - 3 y - 5 x y = 0, 6 x - 5 y = - 2 x y$

Schritt 2

Addiere $2 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x - 3 y - 5 x y = 0, 6 x - 5 y + 2 x y = 0$

Schritt 3

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} - 5 y & - 3 & 0 \\ 2 y & - 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 5 y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 5 y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 5 y}{- 5 y} & \frac{- 3}{- 5 y} & \frac{0}{- 5 y} \\ 2 y & - 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5 y} & 0 \\ 2 y & - 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 y R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 y R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5 y} & 0 \\ 2 y - 2 y \cdot 1 & - 5 - 2 y \frac{3}{5 y} & 0 - 2 y \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5 y} & 0 \\ 0 & - \frac{31}{5} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{31}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{31}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5 y} & 0 \\ - \frac{5}{31} \cdot 0 & - \frac{5}{31} (- \frac{31}{5}) & - \frac{5}{31} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5 y} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5 y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 4.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5 y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{5 y} \cdot 0 & \frac{3}{5 y} - \frac{3}{5 y} \cdot 1 & 0 - \frac{3}{5 y} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 5

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = 0$

$y = 0$

Schritt 6

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(0, 0)$

Schritt 7

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$