Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & 6 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere $[\begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & 6 \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 3 a - 4 b \\ - 5 a + 6 b \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 2

Write as a linear system of equations.

$3 a - 4 b = 5$

$- 5 a + 6 b = 3$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Löse in $3 a - 4 b = 5$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.1.1

Addiere $4 b$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 a = 5 + 4 b$

$- 5 a + 6 b = 3$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 a = 5 + 4 b$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 a = 5 + 4 b$ durch $3$ .

$\frac{3 a}{3} = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 a}{3} = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- 5 a + 6 b = 3$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $\frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $a$ in $- 5 a + 6 b = 3$ durch $\frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$ .

$- 5 (\frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}) + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- 5 (\frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}) + 6 b$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 (\frac{5}{3}) - 5 \frac{4 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Multipliziere $- 5 (\frac{5}{3})$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.2.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 5 \cdot 5}{3} - 5 \frac{4 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\frac{- 25}{3} - 5 \frac{4 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$\frac{- 25}{3} - 5 \frac{4 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Multipliziere $- 5 \frac{4 b}{3}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.3.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{4 b}{3}$ .

$\frac{- 25}{3} + \frac{- 5 (4 b)}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$\frac{- 25}{3} + \frac{- 20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$\frac{- 25}{3} + \frac{- 20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{25}{3} + \frac{- 20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + 6 b = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $6 b$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + 6 b \cdot \frac{3}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.3

Kombiniere $6 b$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{25}{3} - \frac{20 b}{3} + \frac{6 b \cdot 3}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{25}{3} + \frac{- 20 b + 6 b \cdot 3}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 25 - 20 b + 6 b \cdot 3}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{- 25 - 20 b + 18 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.7

Addiere $- 20 b$ und $18 b$ .

$\frac{- 25 - 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.8

Schreibe $- 25$ als $- 1 (25)$ um.

$\frac{- 1 \cdot 25 - 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 b$ heraus.

$\frac{- 1 \cdot 25 - (2 b)}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (25) - (2 b)$ heraus.

$\frac{- 1 (25 + 2 b)}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.2.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.3

Löse in $- \frac{25 + 2 b}{3} = 3$ nach $b$ auf.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{25 + 2 b}{3}) = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{25 + 2 b}{3})$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{25 + 2 b}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- (25 + 2 b)}{3} = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) (\frac{- (25 + 2 b)}{3}) = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot (- 1 \frac{- (25 + 2 b)}{3}) = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (25 + 2 b) = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $25 + 2 b$ mit $1$ .

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 3 \cdot 3$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$25 + 2 b = - 9$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 9$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$25 + 2 b = - 9$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.3.3

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 b = - 9 - 25$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.3.3.2

Subtrahiere $25$ von $- 9$ .

$2 b = - 34$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$2 b = - 34$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 b = - 34$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 b = - 34$ durch $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.3.4.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = \frac{- 34}{2}$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.4.3.1

Dividiere $- 34$ durch $2$ .

$b = - 17$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = - 17$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = - 17$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

$b = - 17$

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $- 17$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $b$ in $a = \frac{5}{3} + \frac{4 b}{3}$ durch $- 17$ .

$a = \frac{5}{3} + \frac{4 (- 17)}{3}$

$b = - 17$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $\frac{5}{3} + \frac{4 (- 17)}{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = \frac{5 + 4 (- 17)}{3}$

$b = - 17$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 17$ .

$a = \frac{5 - 68}{3}$

$b = - 17$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Subtrahiere $68$ von $5$ .

$a = \frac{- 63}{3}$

$b = - 17$

Schritt 3.4.2.1.2.3

Dividiere $- 63$ durch $3$ .

$a = - 21$

$b = - 17$

$a = - 21$

$b = - 17$

$a = - 21$

$b = - 17$

$a = - 21$

$b = - 17$

$a = - 21$

$b = - 17$

Schritt 3.5

Liste alle Lösungen auf.

$a = - 21, b = - 17$