Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere $[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 0 x - y + 1 z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} - y + z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Schritt 2

Write as a linear system of equations.

$- y + z = 8$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 8 + y$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $8 + y$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze alle $z$ in $2 x + 2 y - 5 z = 15$ durch $8 + y$ .

$2 x + 2 y - 5 (8 + y) = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 x + 2 y - 5 (8 + y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 2 y - 5 \cdot 8 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Schritt 3.2.2.1.2

Subtrahiere $5 y$ von $2 y$ .

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $z$ in $- x - y + 3 z = 23$ durch $8 + y$ .

$- x - y + 3 (8 + y) = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Vereinfache $- x - y + 3 (8 + y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x - y + 3 \cdot 8 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Schritt 3.2.4.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Schritt 3.2.4.1.2

Addiere $- y$ und $3 y$ .

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Schritt 3.3

Stelle $8$ und $y$ um.

$z = y + 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Schritt 3.4

Löse in $z = y + 8$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $y + 8 = z$ um.

$y + 8 = z$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Schritt 3.5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $z - 8$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Ersetze alle $y$ in $- x + 2 y + 24 = 23$ durch $z - 8$ .

$- x + 2 (z - 8) + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $- x + 2 (z - 8) + 24$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x + 2 z + 2 \cdot - 8 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Schritt 3.5.2.1.2

Addiere $- 16$ und $24$ .

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $y$ in $2 x - 3 y - 40 = 15$ durch $z - 8$ .

$2 x - 3 (z - 8) - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 3.5.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1

Vereinfache $2 x - 3 (z - 8) - 40$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 3 z - 3 \cdot - 8 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 3.5.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 8$ .

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 3.5.4.1.2

Subtrahiere $40$ von $24$ .

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 3.6

Löse in $2 x - 3 z - 16 = 15$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.1

Addiere $3 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 16 = 15 + 3 z$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 3.6.1.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 15 + 3 z + 16$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 3.6.1.3

Addiere $15$ und $16$ .

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 3.6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3 z + 31$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3 z + 31$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 3.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 3.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Schritt 3.7

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Ersetze alle $x$ in $- x + 2 z + 8 = 23$ durch $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ .

$- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.1

Vereinfache $- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 z}{2} - \frac{31}{2} + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.7.2.1.2

Um $2 z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + 2 z \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.7.2.1.3

Kombiniere $2 z$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + \frac{2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.7.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 z + 2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.7.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 + \frac{- 3 z + 2 z \cdot 2 - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.7.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 + \frac{- 3 z + 4 z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.7.2.1.7

Addiere $- 3 z$ und $4 z$ .

$8 + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.7.2.1.8

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.7.2.1.9

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.1.9.1

Kombiniere $8$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.7.2.1.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.7.2.1.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.1.10.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{16 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.7.2.1.10.2

Subtrahiere $31$ von $16$ .

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.8

Löse in $\frac{z - 15}{2} = 23$ nach $z$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $23$ .

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.8.3

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.3.1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 46 + 15$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.8.3.2

Addiere $46$ und $15$ .

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Schritt 3.9

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $61$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.1

Ersetze alle $z$ in $x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ durch $61$ .

$x = \frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Schritt 3.9.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.1

Vereinfache $\frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 (61) + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Schritt 3.9.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $61$ .

$x = \frac{183 + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Schritt 3.9.2.1.2.2

Addiere $183$ und $31$ .

$x = \frac{214}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Schritt 3.9.2.1.2.3

Dividiere $214$ durch $2$ .

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

Schritt 3.9.3

Ersetze alle $z$ in $y = z - 8$ durch $61$ .

$y = (61) - 8$

$x = 107$

$z = 61$

Schritt 3.9.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.4.1

Subtrahiere $8$ von $61$ .

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

Schritt 3.10

Liste alle Lösungen auf.

$y = 53, x = 107, z = 61$