Lineare Algebra Beispiele

${(\sqrt{\frac{1}{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

${(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

${(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{\sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

${(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{1}}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3}{3^{2}} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3}{9} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 1.8.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1)}{9} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} + {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.9

Schreibe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ als $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ um.

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.11.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.11.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.11.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.11.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.11.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.11.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.11.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.11.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.12.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} + {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.13

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6}}{3}$ an.

$\frac{1}{3} + \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.14

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 1.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} + \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{3} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} + \frac{6^{1}}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.14.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{3} + \frac{6}{3^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.15

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} + \frac{6}{9} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

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Schritt 1.16.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{3} + \frac{3 (2)}{9} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.16.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 1.17

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 2 + 1}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.1

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3 + 1}{3}$

Schritt 2.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{4}{3}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4}{3}$

Dezimalform:

$1.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{3}$