Lineare Algebra Beispiele

2 x + y = - 5

$2 x + y = - 5$ ,

$6 y + 32 z = - 46$ ,

$- 7 x - 2 y + 8 z = 6$

Step 1

Ermittle

$A X = B$ aus dem Gleichungssystem.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 32 \\ - 7 & - 2 & 8 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 \\ - 46 \\ 6 \end{array}]$

Step 2

Finde die Inverse der Koeffizientenmatrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Stelle eine Matrix auf, die in zwei Teile gleicher Größe aufgeteilt ist. Trage die Elemente der ursprünglichen Matrix auf der linken Seite ein. Trage die Elemente der Einheitsmatrix auf der rechten Seite ein. Um die Inverse zu ermitteln, wende Zeilenoperationen an, um die linke Seite in die Einheitsmatrix umzuwandeln. Nachdem das abgeschlossen ist, befindet sich die Inverse der ursprünglichen Matrix auf der rechten Seite der Doppelmatrix.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Tausche Reihe

$3$ und Reihe

$2$ , um die Nullen in Position zu bringen.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{3} \leftrightarrow R$

Führe die Zeilenoperation

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ auf

$R_{1}$ (Zeile

$1$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in

$1$ umzuwandeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze

$R_{1}$ (Zeile

$1$ ) mit der Zeilenoperation

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert

$1$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

Ersetze

$R_{1}$ (Zeile

$1$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

Vereinfache

$R_{1}$ (Zeile

$1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 7 & - 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Führe die Zeilenoperation

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ auf

$R_{2}$ (Zeile

$2$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in

$0$ umzuwandeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze

$R_{2}$ (Zeile

$2$ ) mit der Zeilenoperation

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert

$0$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} & 7 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

Ersetze

$R_{2}$ (Zeile

$2$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (7) \cdot (1) - 7 & (7) \cdot (\frac{1}{2}) - 2 & (7) \cdot (0) + 8 & (7) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (7) \cdot (0) + 0 & (7) \cdot (0) + 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

Vereinfache

$R_{2}$ (Zeile

$2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 8 & \frac{7}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Führe die Zeilenoperation

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$ auf

$R_{2}$ (Zeile

$2$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in

$1$ umzuwandeln.

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Ersetze

$R_{2}$ (Zeile

$2$ ) mit der Zeilenoperation

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert

$1$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} & \frac{2}{3} R_{2} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$

Ersetze

$R_{2}$ (Zeile

$2$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (\frac{2}{3}) \cdot (0) & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{3}{2}) & (\frac{2}{3}) \cdot (8) & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{7}{2}) & (\frac{2}{3}) \cdot (0) & (\frac{2}{3}) \cdot (1) \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{2}{3} R_{2}$

Vereinfache

$R_{2}$ (Zeile

$2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Führe die Zeilenoperation

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ auf

$R_{1}$ (Zeile

$1$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in

$0$ umzuwandeln.

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Ersetze

$R_{1}$ (Zeile

$1$ ) mit der Zeilenoperation

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert

$0$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$

Ersetze

$R_{1}$ (Zeile

$1$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{1}{2}) \cdot (1) + \frac{1}{2} & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{16}{3}) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{7}{3}) + \frac{1}{2} & (- \frac{1}{2}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{1}{2}) \cdot (\frac{2}{3}) + 0 \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1}$

Vereinfache

$R_{1}$ (Zeile

$1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 6 & 32 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Führe die Zeilenoperation

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$ auf

$R_{3}$ (Zeile

$3$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in

$0$ umzuwandeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze

$R_{3}$ (Zeile

$3$ ) mit der Zeilenoperation

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert

$0$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} & - 6 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$

Ersetze

$R_{3}$ (Zeile

$3$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ (- 6) \cdot (0) + 0 & (- 6) \cdot (1) + 6 & (- 6) \cdot (\frac{16}{3}) + 32 & (- 6) \cdot (\frac{7}{3}) + 0 & (- 6) \cdot (0) + 1 & (- 6) \cdot (\frac{2}{3}) + 0 \end{array}]$

$R_{3} = - 6 \cdot R_{2} + R_{3}$

Vereinfache

$R_{3}$ (Zeile

$3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & - 14 & 1 & - 4 \end{array}]$

Führe die Zeilenoperation

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$ auf

$R_{3}$ (Zeile

$3$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in

$1$ umzuwandeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze

$R_{3}$ (Zeile

$3$ ) mit der Zeilenoperation

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert

$1$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} & - \frac{1}{14} R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$

Ersetze

$R_{3}$ (Zeile

$3$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (0) & (- \frac{1}{14}) \cdot (- 14) & (- \frac{1}{14}) \cdot (1) & (- \frac{1}{14}) \cdot (- 4) \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{1}{14} R_{3}$

Vereinfache

$R_{3}$ (Zeile

$3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

Führe die Zeilenoperation

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$ auf

$R_{1}$ (Zeile

$1$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in

$0$ umzuwandeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze

$R_{1}$ (Zeile

$1$ ) mit der Zeilenoperation

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert

$0$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} & \frac{2}{3} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$

Ersetze

$R_{1}$ (Zeile

$1$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{2}{3}) \cdot (0) + 1 & (\frac{2}{3}) \cdot (0) + 0 & (\frac{2}{3}) \cdot (0) - \frac{8}{3} & (\frac{2}{3}) \cdot (1) - \frac{2}{3} & (\frac{2}{3}) \cdot (- \frac{1}{14}) + 0 & (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{7}) - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{2}{3} R_{3} + R_{1}$

Vereinfache

$R_{1}$ (Zeile

$1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & \frac{7}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

Führe die Zeilenoperation

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$ auf

$R_{2}$ (Zeile

$2$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in

$0$ umzuwandeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Ersetze

$R_{2}$ (Zeile

$2$ ) mit der Zeilenoperation

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert

$0$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} & - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$

Ersetze

$R_{2}$ (Zeile

$2$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{7}{3}) \cdot (0) + \frac{16}{3} & (- \frac{7}{3}) \cdot (1) + \frac{7}{3} & (- \frac{7}{3}) \cdot (- \frac{1}{14}) + 0 & (- \frac{7}{3}) \cdot (\frac{2}{7}) + \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{7}{3} R_{3} + R_{2}$

Vereinfache

$R_{2}$ (Zeile

$2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{8}{3} & 0 & - \frac{1}{21} & - \frac{1}{7} \\ 0 & 1 & \frac{16}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{14} & \frac{2}{7} \end{array}]$

Da die Determinante der Matrix null ist, gibt es keine Inverse.

Keine Inverse

Step 3

Da die Matrix keine Inverse hat, kann sie nicht durch Anwendung der inversen Matrix gelöst werden.

Keine Lösung